Question

Перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута трикутника, ділить гіпотенузу у відношенні 1:3. Знайдіть кути трикутника. без корней "эту тему не проходили"

Answer 1

Ответ:

30° и 60°

Пошаговое объяснение:

Пусть АВ - гипотенуза, которую высота h делит на два отрезка в отношении 1 : 3

h =√3

tg∠A = √3/3 = 30°

tg∠B =  √3 = 60°

Answer 2

Давайте розглянемо задачу крок за кроком.

1. Позначимо вершину прямого кута трикутника як \(A\), а гіпотенузу - як \(BC\), де \(B\) і \(C\) - інші дві вершини прямокутного трикутника.

2. За умовою задачі, перпендикуляр проведений з вершини прямого кута (точка \(A\)) ділить гіпотенузу \(BC\) у відношенні 1:3. Тобто, нехай \(D\) - точка дотику перпендикуляру з гіпотенузою. Тоді можна записати, що \(BD = 3 \cdot CD\).

3. Знаючи відношення сторін, ми можемо записати рівняння для відстаней між точками. Позначимо довжину гіпотенузи як \(c\), тобто \(BC = c\). Тоді \(BD = 3x\) і \(CD = x\).

\[BD + CD = BC\] \[3x + x = c\] \[4x = c\] \[x = \frac{c}{4}\]

4. Тепер ми знаємо, що \(CD = \frac{c}{4}\) і \(BD = 3 \cdot \frac{c}{4}\).

5. Розглянемо прямокутний трикутник \(ABC\). Знаючи сторони \(BD\) і \(CD\), можемо використовувати тангенс протилежного кута відносно прямого кута для знаходження кутів трикутника.

\[\tan(\angle B) = \frac{CD}{BD}\] \[\tan(\angle B) = \frac{\frac{c}{4}}{3 \cdot \frac{c}{4}} = \frac{1}{3}\] \[\angle B = \arctan\left(\frac{1}{3}\right)\]

Також, оскільки це прямокутний трикутник, ми можемо використовувати тотожність тригонометричної функції:

\[\tan(\angle C) = \frac{CD}{BC}\] \[\tan(\angle C) = \frac{\frac{c}{4}}{c} = \frac{1}{4}\] \[\angle C = \arctan\left(\frac{1}{4}\right)\]

Кут \(A\) вже відомий, оскільки це прямий кут.

Отже, ми знайшли кути трикутника, і вони рівні:

\[\angle A = 90^\circ, \quad \angle B = \arctan\left(\frac{1}{3}\right), \quad \angle C = \arctan\left(\frac{1}{4}\right)\]

Без використання коренів відсутній і є точний вираз для кутів трикутника.