Question

Решите уравнение y''-3y'=5e^(3x)

Answer 1

ответ на фото

ответ на фото

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, мы сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

1. Однородное уравнение: y'' - 3y' = 0

Для решения этого уравнения предположим, что y имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа. Подставляя это в уравнение, получаем:

r^2e^(rx) - 3re^(rx) = 0

Факторизуем выражение:

r(r - 3)e^(rx) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для r: r = 0 и r = 3.

Общее решение однородного уравнения имеет вид y_h = C1e^(0x) + C2e^(3x), где C1 и C2 - произвольные константы.

2. Частное решение неоднородного уравнения: y'' - 3y' = 5e^(3x)

Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ae^(3x), где A - неизвестная константа. Подставляя это в уравнение, получаем:

9Ae^(3x) - 9Ae^(3x) = 5e^(3x)

Таким образом, A = 5/9.

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p = (5/9)e^(3x).

3. Общее решение неоднородного уравнения: Общее решение неоднородного уравнения y = y_h + y_p, где y_h = C1e^(0x) + C2e^(3x), y_p = (5/9)e^(3x).

Таким образом, окончательное решение уравнения y'' - 3y' = 5e^(3x) имеет вид: y = C1e^(0x) + C2e^(3x) + (5/9)e^(3x).

где C1 и C2 - произвольные константы.