Question

Найди длину диагонали прямоугольника, если его периметр равен 46 , а площадь равна 120

Answer 1

Пошаговое объяснение:

2а+2b=46

a×b=120

a+b=23 => a=23-b

(23-b)×b=120

23b-b²=120

b²-23b+120=0

b1+b2=23

b1×b2=120

b1=15

b2=8

диагональ 15²+8²=c² => c=17

Answer 2

Давайте обозначим длину прямоугольника за \(a\), а ширину за \(b\).

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон: \[ P = 2a + 2b \]

По условию задачи, \( P = 46 \). Таким образом, у нас есть уравнение: \[ 2a + 2b = 46 \]

Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 23 \]

Также известно, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины: \[ S = ab \]

По условию задачи, \( S = 120 \).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:

\[ a + b = 23 \] \[ ab = 120 \]

Из первого уравнения можно выразить, например, \( b \) через \( a \): \[ b = 23 - a \]

Подставим это значение во второе уравнение: \[ a(23 - a) = 120 \]

Раскроем скобки: \[ 23a - a^2 = 120 \]

Переносим все члены уравнения в одну сторону: \[ a^2 - 23a + 120 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Решим его с использованием формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] \[ a = 1, \, b = -23, \, c = 120 \]

\[ D = (-23)^2 - 4(1)(120) \] \[ D = 529 - 480 \] \[ D = 49 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня: \[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \] \[ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

\[ a_1 = \frac{23 + 7}{2} = 15 \] \[ a_2 = \frac{23 - 7}{2} = 8 \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения длины \(a\): 15 и 8. Если \(a = 15\), то \(b = 8\), и наоборот. В любом случае, длина диагонали прямоугольника может быть найдена с использованием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Для \(a = 15\) и \(b = 8\): \[ d = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]

Или для \(a = 8\) и \(b = 15\): \[ d = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \]

Таким образом, длина диагонали прямоугольника равна 17.