Question

дано 26 двадцатисемизначных чисел а1, а2, а3, ..., а26. Могло ли так случиться, что если у всех этих чисел вычеркнуть последнюю цифру, то их сумма будет равна 3а1, если предпоследнюю, то 3а2, ..., если вторую, то - 3а26?​

Answer 1

Ответ:

нет

Пошаговое объяснение:

Нет, нельзя. Докажем по индукции (ясно что 26 тут не по делу).

База. два двузначных числа, вычеркиваем последнюю цифру у обоих и складываем. Получаем не больше 17, а 3a1 - как минимум 30.

Переход. Пусть для n-1 n-значного числа нельзя. Допустим, что для n n+1-значных чисел можно. вычеркнем у всех последнюю цифру, получим сумму 3a_1. Значит если утроить все числа и удалить первое, а у остальных стереть последнюю цифру, то получим пример в котором чисел на одно меньше (без первого) и цифр на одну меньше (без последней), а все удаления как раз сдвинутся на 1. То есть получим пример для n-1 n-значного числа. По предположению индукции такого нет.

Answer 2

Да, такое возможно. Давайте рассмотрим данное условие подробнее.

У нас есть 26 двадцатисемизначных чисел, обозначенных как а1, а2, а3, ..., а26. Если мы удалим последнюю цифру у каждого из этих чисел и сложим их, и это будет равно 3а1, если мы удалим предпоследнюю цифру и сложим, и это будет равно 3а2, и так далее, то это означает, что сумма каждой группы цифр будет умножена на 3 для соответствующего числа.

Для удобства обозначим последнюю цифру каждого числа как `x`, а предпоследнюю цифру как `y`. Таким образом, мы имеем следующие уравнения:

3a1 = (a2 - x2) + (a3 - x3) + ... + (a26 - x26) 3a2 = (a1 - x1) + (a3 - x3) + ... + (a26 - x26) ... 3a26 = (a1 - x1) + (a2 - x2) + ... + (a25 - x25)

Здесь мы вычитаем `x1`, `x2`, ..., `x26` для каждого числа, чтобы учесть удаление последней цифры.

Мы можем переписать каждое из этих уравнений следующим образом:

3a1 = (a2 + a3 + ... + a26) - (x2 + x3 + ... + x26) 3a2 = (a1 + a3 + ... + a26) - (x1 + x3 + ... + x26) ... 3a26 = (a1 + a2 + ... + a25) - (x1 + x2 + ... + x25)

Теперь давайте рассмотрим случай, когда сумма каждой группы цифр будет умножена на 3 для соответствующего числа:

3a1 = (a2 + a3 + ... + a26) - (x2 + x3 + ... + x26) 3a2 = (a1 + a3 + ... + a26) - (x1 + x3 + ... + x26) ... 3a26 = (a1 + a2 + ... + a25) - (x1 + x2 + ... + x25)

Теперь давайте рассмотрим возможные значения `x1`, `x2`, ..., `x26`. Поскольку каждое число состоит из 20 цифр, значения `x1`, `x2`, ..., `x26` могут быть любыми цифрами от 0 до 9.

Если мы выберем `x1 = 0`, то в первом уравнении получим:

3a1 = (a2 + a3 + ... + a26) - (0 + x2 + x3 + ... + x26)

Теперь мы можем заметить, что сумма (a2 + a3 + ... + a26) должна быть кратна 3, чтобы 3a1 было целым числом. Однако, сумма (0 + x2 + x3 + ... + x26) также должна быть кратна 3, иначе разность (a2 + a3 + ... + a26) - (0 + x2 + x3 + ... + x26) не будет кратна 3.

Таким образом, невозможно выбрать значения `x1`, `x2`, ..., `x26`, чтобы удовлетворить данному условию. То же самое можно сказать и для других случаев, где сумма каждой группы цифр будет умножена на 3 для соответствующего числа.

Вывод: Нет такого набора чисел а1, а2, а3, ..., а26, при котором условие будет выполняться.