Question

В пирамиде abcd найти угол cab площадь abc и объем пирамиды a(2,3,3), b(3,2,-1), c(3,-1,2), d(1,1,1)

Answer 1

В пирамиде abcd найти угол cab площадь abc и объем пирамиды

a(2,3,3), b(3,2,-1), c(3,-1,2), d(1,1,1).

1) угол САВ - это между рёбрами АС и АВ.

Находим векторы АС и АВ и их модули  

АС = C(3; -1; 2) - A(2; 3; 3) = (1; -4; -1),  

|AC| = √(1² + (-4)² + (-1)²) = √(1 + 16 + 1) = √18 = 3√2.

АB = B(3; 2; -1) - A(2; 3; 3) = (1; -1; -4),  

|AB| = √(1² + (-1)² + (-4)²) = √(1 + 1 + 16) = √18 = 3√2.

Косинус угла равен:

cos(AC_AB) = (1*1+(-4)*(-1)+(-1)*(-4))/(3√2*3√2) = (1+4+4)/18 = 9/18 = 1/2.

Угол равен arccos(1/2) = 1,0472 радиан или 60 градусов.

2) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ(1; -1; -4) и АС(1; -4; -1).

Находим векторное произведение по схеме Саррюса.

i       j     k|       i        j

1     -1     -4|      1      -1

1     -4     -1|      1      -4 = 1i – 4j – 4k + 1j – 16i + 1k = -15i – 3j – 3k.

Найден нормальный вектор грани АBC: (-15; -3; -3).

Его модуль равен √((-15)² + (-3)² + (-3)²)  = √(225 + 9 + 9) = √243 = 9√3.        

S = (1/2)*( 9√3) = 9√3/2 ≈ 7,794 кв. ед.

3) Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD.

Нормальный вектор грани АBC(-15; -3; -3) как векторное произведение векторов АВ и АС найден в п. 2).

Находим вектор АD.  

АD = D(1; 1; 1) - A(2; 3; 3) = (-1; -2; -2).

Находим произведение (ABxAC)*AD.

(ABxAC)= -15   -3   -3        

        АD = -1     -2    -2    

                 15 + 6 + 6 = 27.

V = (1/6)*27 = 27/6 = 9/2 = 4,5 куб. ед.

Answer 2

Для нахождения угла CAB в пирамиде ABCD, нам понадобится использовать векторные операции. Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения исходных векторов.

Нахождение векторов AB, AC и AD

Для начала найдем векторы AB, AC и AD, используя координаты точек A, B, C и D.

Вектор AB = B - A = (3, 2, -1) - (2, 3, 3) = (1, -1, -4) Вектор AC = C - A = (3, -1, 2) - (2, 3, 3) = (1, -4, -1) Вектор AD = D - A = (1, 1, 1) - (2, 3, 3) = (-1, -2, -2)

Нахождение угла CAB

Для нахождения угла CAB, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC, |AB| - длина вектора AB, |AC| - длина вектора AC.

AB · AC = (1, -1, -4) · (1, -4, -1) = 1 * 1 + (-1) * (-4) + (-4) * (-1) = 1 + 4 + 4 = 9 |AB| = √(1^2 + (-1)^2 + (-4)^2) = √(1 + 1 + 16) = √18 |AC| = √(1^2 + (-4)^2 + (-1)^2) = √(1 + 16 + 1) = √18

cos(θ) = 9 / (√18 * √18) = 9 / 18 = 0.5

Теперь, чтобы найти значение угла θ, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус):

θ = arccos(0.5)

Нахождение площади ABC

Для нахождения площади ABC, мы можем использовать формулу площади треугольника по трем сторонам (формула Герона):

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника, a, b и c - длины сторон треугольника.

В нашем случае, стороны треугольника ABC равны длинам векторов AB, AC и BC. Поэтому:

a = |AB| = √18 b = |AC| = √18 c = |BC| = √(AC^2 + BC^2) = √((1^2 + (-4)^2 + (-1)^2) + (1^2 + (-1)^2 + (-4)^2)) = √(18 + 18) = √36 = 6

p = (a + b + c) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6) / 2 = (√18 + √18 + 6)