Question

Cos(x)+2cos(2x)=1 решите уравнение 40 баллов

Answer 1

надеюсь правильно

cosx+2cos2x=1

cosx+2(cos²x-sin²x)=1

cosx+2cos²x-2(1-cos²x)=1

cosx+2cos²x-2+2cos²x=1

4cos²x+cosx²-3=0

cosx=m

4m²+m-3=0

D=1²-4*4*(-3)=1+48=49=7²

m=(-1+7)/2*4=6/8=3/4

m=(-1-7)/2*4=-8/8=-1

cosx=3/4 ⇒ x=+/-arccos(3/4)+2πn

cosx=-1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z

Answer 2

Для решения уравнения cos(x) + 2cos(2x) = 1, мы должны найти значения x, которые удовлетворяют уравнению. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Шаг 1: Используйте тригонометрические тождества

Используя тригонометрические тождества, мы можем выразить cos(2x) через cos(x). Точнее, мы можем использовать формулу двойного угла cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Подставим это в уравнение:

cos(x) + 2(2cos^2(x) - 1) = 1

Шаг 2: Раскройте скобки и упростите выражение

Раскроем скобки:

cos(x) + 4cos^2(x) - 2 = 1

Теперь упростим выражение:

4cos^2(x) + cos(x) - 3 = 0

Шаг 3: Решите квадратное уравнение

Мы получили квадратное уравнение 4cos^2(x) + cos(x) - 3 = 0. Давайте решим его с помощью формулы квадратного корня:

cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 4, b = 1, и c = -3.

Подставим значения и решим уравнение:

cos(x) = (-1 ± √(1^2 - 4(4)(-3))) / (2(4))

cos(x) = (-1 ± √(1 + 48)) / 8

cos(x) = (-1 ± √49) / 8

cos(x) = (-1 ± 7) / 8

Таким образом, мы получаем два значения для cos(x):

cos(x) = 6/8 = 3/4

или

cos(x) = -8/8 = -1

Шаг 4: Найдите значения x

Теперь найдем значения x, соответствующие этим значениям cos(x).

Для cos(x) = 3/4, мы можем использовать обратную функцию косинуса, чтобы найти значение x:

x = arccos(3/4)

x ≈ 0.7227 + 2πn, где n - целое число.

Для cos(x) = -1, мы также можем использовать обратную функцию косинуса:

x = arccos(-1)

x = π + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, уравнение cos(x) + 2cos(2x) = 1 имеет бесконечное количество решений, которые можно записать в виде:

x ≈ 0.7227 + 2πn, где n - целое число.

или

x = π + 2πn, где n - целое число.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.