Question

Помогите пожалуйста Решите дифференциальное уравнение: (1+x²)*ydy-(1+y²)*x*dx=0​

Answer 1

Ответ:

$y^{2}=C*(x^{2}+1)-1$

Пошаговое объяснение:

$(1+x^{2})*ydy-(1+y^{2})*x*dx=0\\\\ (1+x^{2})*ydy=(1+y^{2})*x*dx |:(1+x^{2})*(1+y^{2})\\\\\frac{y}{(1+y^{2})} dy=\frac{x}{(1+x^{2})} dx$

Уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируем правую и левую часть

$\int\ \frac{y}{(1+y^{2})} dy=\int\ \frac{x}{(1+x^{2})} dx$

$></p> <p>Для удобства пишем свободный  член  <img src=$

$></p> <p>Экспоненцируем </p> <p><img src=$

Answer 2

Дифференциальное уравнение, которое вы предоставили, является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка. Чтобы решить его, мы можем применить метод разделения переменных.

Давайте шаг за шагом решим это уравнение:

Шаг 1: Разделение переменных Приравняем коэффициенты при dy и dx к нулю:

(1 + x²) * y * dy - (1 + y²) * x * dx = 0

(1 + x²) * y * dy = (1 + y²) * x * dx

Теперь разделим обе части уравнения на (1 + x²) * y и на (1 + y²) * x:

dy / y = (1 + y²) * dx / (1 + x²)

Шаг 2: Интегрирование Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Интегрирование левой стороны даст нам ln|y|, а интегрирование правой стороны требует некоторых алгебраических преобразований:

∫(dy / y) = ∫((1 + y²) * dx / (1 + x²))

ln|y| = ∫(dx + y² * dx / (1 + x²))

ln|y| = x + ∫(y² * dx / (1 + x²))

Шаг 3: Замена переменных Для решения этого интеграла, давайте сделаем замену переменной. Пусть u = 1 + x².

Тогда, du = 2x * dx.

Используя это, мы можем заменить y² * dx / (1 + x²) на (1/u) * (du/2):

ln|y| = x + ∫((y² * dx) / (1 + x²))

ln|y| = x + ∫((y² * (1/u) * (du/2))

ln|y| = x + (1/2) * ∫(y² / u) * du

Шаг 4: Интегрирование Теперь мы можем проинтегрировать правую часть уравнения:

ln|y| = x + (1/2) * ∫(y² / u) * du

Для интегрирования ∫(y² / u) * du, мы можем использовать метод частичных дробей или другие методы интегрирования. Решение интеграла зависит от значения y и u.

Выбор метода интегрирования зависит от конкретных условий задачи. Если вы можете предоставить дополнительные условия или ограничения, я смогу помочь вам с точным решением.

Общий подход заключается в том, чтобы продолжать интегрировать и алгебраически преобразовывать выражение, чтобы получить y как функцию от x. Но без дополнительной информации или ограничений, мы не сможем предоставить окончательное аналитическое решение.