Question

Помогите решить дифференциальное уравнение 5xdx+ydy=0

Answer 1

$5x\, dx+y\, dy=0\\\\\int 5x\, dx=-\int y\, dy\\\\5\cdot \frac{x^2}{2}=-\frac{y^2}{2}+C$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения 5xdx+ydy=0, можно использовать метод разделения переменных. Этот метод заключается в том, что обе части уравнения приводятся к виду, содержащему только одну переменную, а затем обе части интегрируются. Вот подробные шаги решения:

1. Переносим все члены, содержащие x, в левую часть уравнения, а все члены, содержащие y, в правую часть. Для этого делим обе части уравнения на 5x и y, получаем:

dy/y = -5dx/x

2. Интегрируем обе части уравнения по соответствующим переменным. Для этого используем формулу интеграла от логарифма:

∫dy/y = ln|y| + C1

∫-5dx/x = -5ln|x| + C2

3. Приравниваем правые части полученных выражений и выражаем y через x. Для этого переносим константы в одну часть и применяем свойства логарифмов:

ln|y| + C1 = -5ln|x| + C2

ln|y| = -5ln|x| + C - C1

ln|y| = ln|x^-5| + C

y = e^(ln|x^-5| + C)

y = e^C * e^(ln|x^-5|)

y = C * x^-5

4. Находим константу C из начальных условий, если они заданы. Если начальные условия не заданы, то ответ записывается в общем виде с произвольной константой C.

Ответ: y = C * x^-5