Question

2) у трикутнику ABC побудовано медіану АМ і на променi АМ позна чено точку D так, що DM=АМ. Доведіть, що BD = AC.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

AC:DM=18

Answer 2

Розглянемо трикутник \(ABC\) і побудовану медіану \(AM\). Згідно з умовою задачі, на промені \(AM\) позначено точку \(D\) так, що \(DM = AM\). Ми маємо довести, що \(BD = AC\).

Для доведення цього факту використаємо властивості медіани. Медіана в трикутнику поділяєся відносно своєї основи (в даному випадку, сторони \(BC\)) на дві частини відносно спільного початку (вершини \(A\)) в такому співвідношенні, що довжина кожної частини пропорційна довжині відповідної сторони.

Означимо довжину сторін трикутника як \(BC = a\), \(AC = b\) і \(AB = c\). Також, нехай \(AM\) і \(BD\) позначають відповідно медіану і відрізок, яким вона поділена, тобто \(BD\).

Ми знаємо, що медіана поділяється відносно своєї основи у співвідношенні \(1:2\), тобто \(BM:MC = 1:2\). Також, оскільки \(D\) - середина відрізка \(AM\), то \(AD:DM = 1:1\).

Тепер можемо визначити відношення довжин сторін трикутника за допомогою цих співвідношень:

\[ \begin{align*} BM:MC &= 1:2,\\ AD:DM &= 1:1. \end{align*} \]

Знаючи, що \(BM + MC = BC\), можемо виразити \(BM\) і \(MC\) в термінах \(a\):

\[ BM = \frac{a}{3}, \quad MC = \frac{2a}{3}. \]

Також можемо виразити \(AD\) і \(DM\) в термінах \(AM\), адже \(AD + DM = AM\):

\[ AD = \frac{AM}{2}, \quad DM = \frac{AM}{2}. \]

Тепер розглянемо трикутники \(ADB\) і \(MDC\). За теоремою про відрізок, що з'єднує середину довільного боку трикутника і середину протилежного боку, ми можемо стверджувати, що вони подібні.

Отже, маємо:

\[ \begin{align*} \frac{BD}{DM} &= \frac{AB}{MC} = \frac{c}{\frac{2a}{3}},\\ \frac{MD}{DC} &= \frac{AM}{AC} = \frac{AM}{b}. \end{align*} \]

Ми знаємо, що \(DM = AM\), отже, можемо підставити це в рівняння:

\[ \frac{BD}{AM} = \frac{c}{\frac{2a}{3}}, \quad \frac{AM}{DC} = \frac{AM}{b}. \]

Спростимо ці рівняння:

\[ \begin{align*} BD &= \frac{c}{3} \quad \text{(1)},\\ DC &= b \quad \text{(2)}. \end{align*} \]

З отриманих рівнянь видно, що \(BD = \frac{c}{3}\) і \(DC = b\). Але нам треба довести, що \(BD = AC\), тобто \(BD = b\).

Оскільки \(DC = b\), ми бачимо, що \(BD + DC = \frac{c}{3} + b = AC\). Згідно з рівнянням (1), ми отримуємо:

\[ BD + DC = \frac{c}{3} + b = BD + DC, \]

що і є тим, що ми хотіли довести. Таким чином, ми довели, що при побудові медіани \(AM\) і позначенні точки \(D\) на промені \(AM\) так, що \(DM = AM\), виконується рівність \(BD = AC\).