Question

Решите неравенства с модулями. 1. |x + 3| - 6 > 2 2. 3-|x-21|<=4 3. 7|x + 6| + 18 >= 57 4. |3x|>2 5 |7x|<14.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

|x + 3| - 6 > 2

|x+3|>2+6

|x+3|>8

Допустим |x+3|=8

1) x+3=8; x=8-3; x₁=5

2) x+3=-8; x=-8-3; x₂=-11

Для определения знака возьмём пробную точку на промежутке (-11; 5), например, 0:

|0+3|-6=3-6=-3; -3<2

Неравенство не выполняется, значит, на данном интервале будет знак минус:

        +                     -                     +

------------------°-------------------°----------------->x

                  -11                     5

x∈(-∞; -11)∪(5; +∞)

3-|x-21|≤4

Допустим 3-|x-21|=4

1) x-21≥0: 3-(x-21)=4; -x+24=4; x=24-4; x₁=20 - не подходит, так как 20-21=-1; -1<0 - неравенство не выполняется.

2) x-21<0: 3-(-x+21)=4; x-18=4; x=4+18; x₂=22 - не подходит, так как 22-21=1; 1>0 - неравенство не выполняется.

Следовательно, уравнение не имеет решений. Значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.

Возьмём произвольную точку например, 0:

3-|0-21|=3-21=-18; -18<0 - неравенство выполняется всегда.

x∈(-∞; +∞)

7|x + 6| + 18 ≥ 57

7|x+6|≥57-18

|x+6|≥39/7

Допустим |x+6|=39/7

1) x+6=39/7; x=5 4/7-5 7/7; x₁=-3/7

2) x+6=-39/7; x=-5 4/7-6; x₂=-11 4/7

Для определения знака возьмём пробную точку на промежутке [-3/7; +∞), например, 0:

7|0+6|+18=42+18=60; 60>57

Неравенство выполняется, значит, на данном интервале будет знак плюс:

       +                    -                         +

----------------.----------------------.------------------->x

              -11 4/7                 -3/7

x∈(-∞; -11 4/7]∪[-3/7; +∞)

|3x|>2

Допустим |3x|=2

1) 3x=2; x₁=2/3

2) 3x=-2; x₂=-2/3

Для определения знака возьмём пробную точку на промежутке (-2/3; 2/3), например, 0:

|3·0|=0; 0<2

Неравенство не выполняется, значит, на данном интервале будет знак минус:

        +                    -                         +

----------------°-----------------------°-------------------->x

               -2/3                      2/3

x∈(-∞; -2/3)∪(2/3; +∞)

|7x|<14

Допустим |7x|=14

1) 7x=14; x=14/7; x₁=2

2) 7x=-14; x=-14/7; x₂=-2

Для определения знака возьмём пробную точку на промежутке (-2; 2), например, 0:

|7·0|=0; 0<14

Неравенство выполняется, значит, на данном интервале будет знак плюс:

          -                            +                      -

----------------------°------------------------°------------------>x

                       -2                           2

x∈(-2; 2)

Answer 2

Solving Inequalities with Absolute Values

To solve inequalities with absolute values, we need to consider two cases: when the expression inside the absolute value is positive and when it is negative. Let's solve the given inequalities step by step.

1. |x + 3| - 6 > 2: - When x + 3 is positive, the inequality becomes x + 3 - 6 > 2, which simplifies to x - 3 > 2. Solving this inequality, we get x > 5. - When x + 3 is negative, the inequality becomes -(x + 3) - 6 > 2, which simplifies to -x - 9 > 2. Solving this inequality, we get x < -11. - Combining the two cases, the solution is x < -11 or x > 5.

2. 3 - |x - 21| <= 4: - When x - 21 is positive, the inequality becomes 3 - (x - 21) <= 4, which simplifies to -x + 18 <= 4. Solving this inequality, we get x >= 14. - When x - 21 is negative, the inequality becomes 3 - -(x - 21) <= 4, which simplifies to x - 18 <= 4. Solving this inequality, we get x <= 22. - Combining the two cases, the solution is x <= 22 and x >= 14.

3. 7|x + 6| + 18 >= 57: - When x + 6 is positive, the inequality becomes 7(x + 6) + 18 >= 57, which simplifies to 7x + 60 >= 57. Solving this inequality, we get x >= -3. - When x + 6 is negative, the inequality becomes 7-(x + 6) + 18 >= 57, which simplifies to -7x + 39 >= 57. Solving this inequality, we get x <= -3. - Combining the two cases, the solution is x <= -3 or x >= -3.

4. |3x| > 2: - When 3x is positive, the inequality becomes 3x > 2, which simplifies to x > 2/3. - When 3x is negative, the inequality becomes -3x > 2, which simplifies to x < -2/3. - Combining the two cases, the solution is x < -2/3 or x > 2/3.

5. |7x| < 14: - When 7x is positive, the inequality becomes 7x < 14, which simplifies to x < 2. - When 7x is negative, the inequality becomes -7x < 14, which simplifies to x > -2. - Combining the two cases, the solution is -2 < x < 2.

I hope this helps! Let me know if you have any further questions.