Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ДАЮ 70 БАЛЛОВ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Задано координати вершин піраміди А=(1;4;1) В=(-3;2;1) С=(-3;-4;1) D=(2;3;-5) Знайти: 1)Скалярний добуток АВ×АС і кут між ребрами АВ і АС 2) проекцію вектора АВ на вектор АС 3) площу грані АВС Пожалуйста с решением!!! ЗАРАНЕЕ СПАСИБО!

Answer 1

Ответ:

1)16
2)(не знаю какую проекцию надо) скалярная:4; векторная: (-4; 0; 0)
3)4

Пошаговое объяснение:

вектора ребер AB и AC:

AB = B-A = (-3; 2; 1) - (1; 4; 1) = (-4; -2; 0)
AC = C-A = (-3; -4; 1) - (1; 4; 1) = (-4; 0; 0)

1)скалярное произведение:
АВ·АС = (-4; -2; 0)·(-4; 0; 0) = -4*-4 + (-2)*0 + 0*0 = 16

2)скалярная проекция вектора AB на вектор AC:
AC/|AC| = (-4; 0; 0)/sqrt((-4)^2+0^2+0^2) = (-1; 0; 0)
p = AB·(AC/|AC|) = (-4; -2; 0)·(-1; 0; 0) = -4*(-1) + (-2)*0 + 0*0 = 4
векторная проекция вектора AB на вектор AC:
|AC|*p = (-1; 0; 0) * 4 = (-4; 0; 0)

3) площадь грани ABC:
это находится через векторное произведение, у нас уже есть два вектора ребер этой грани
AB×AC = (AB.y*AC.z − AB.z*AC.y; AB.z*AC.x − AB.x*AC.z; AB.x*AC.y − AB.y*AC.x) = (-2*0 − 0*0; 0*-4 − (-4)*0; -4*0 − (-2)*-4) = (0; 0; 8)
длина этого вектора также является площадью параллелограмма сформированного этими двумя векторами, поэтому если поделим длину на два получим площадь треугольника сформированного векторами AB и AC, что и является площадью грани ABC.
|AB×AC| = sqrt(0^2 + 0^2 + 8^2) = 8
S_ABC = |AB×AC|/2 = 8/2 = 4

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом по векторной алгебре. Вот решение задачи:

1) Скалярный произведение векторов AB и AC равно:

AB = (-3 - 1; 2 - 4; 1 - 1) = (-4; -2; 0)

AC = (-3 - 1; -4 - 4; 1 - 1) = (-4; -8; 0)

AB × AC = -4 × -4 + -2 × -8 + 0 × 0 = 16 + 16 + 0 = 32

Кут между ребрами AB и AC равен:

|AB| = √(-4² + -2² + 0²) = √(16 + 4 + 0) = √20

|AC| = √(-4² + -8² + 0²) = √(16 + 64 + 0) = √80

cos(AB, AC) = (AB × AC) / (|AB| × |AC|) = 32 / (√20 × √80) = 32 / 20 = 1.6

(AB, AC) = arccos(1.6) ≈ 0.896 градуса

2) Проекция вектора AB на вектор AC равна:

Пр(AB, AC) = (AB × AC) / |AC| = 32 / √80 ≈ 3.58

3) Площадь грани ABC равна:

S(ABC) = (1/2) × |AB × AC| = (1/2) × √(32²) = (1/2) × 32 = 16

Надеюсь, это поможет вам. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад ответить на них.