Question

Даны вершины треугольника ABC:A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) Найти а) уравнение стороны АВ б) уравнение высоты АВ с) уравнение медианы АМ г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB При A(1;7) B(-3;-1) C(11;-3)

Answer 1

Даны вершины треугольника ABC: A(1;7) B(-3;-1) C(11;-3)

Найти

а) уравнение стороны АВ.

Находим вектор АВ = (-3-1; -1-7) = (-4; -8).

Уравнение АВ: (x – 1)/(-4) = (y – 7)/(-8) или 2x – y + 5 = 0 в общем виде.

б) уравнение высоты АD.

Находим уравнение стороны ВС.

Вектор ВС = (11-(-3); -3-(-1)) = (14; -2)

Уравнение ВС: (x + 3)/14 = (y + 1)/(-2) или в общем виде x + 7y + 10 = 0.

У перпендикулярной прямой к прямой в общем виде Ах + Ву + С = 0 коэффициенты переменных А и В меняются на В и (-А) (чтобы их скалярное произведение равнялось нулю).  

Тогда уравнение AD: 7x – y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А: 7*1 – 7 + С = 0, отсюда С = 7 – 7 = 0.

Уравнение AD: 7x – y = 0.

с) уравнение медианы АМ.

Находим координаты точки М как середины стороны ВС.

М = (B(-3;-1) + C(11;-3))/2 = (4; -2).

Вектор АМ = (4-1; -2-7) = (3; -9).

Уравнение медианы АМ: (x – 1)/3 = (y – 7)/(-9) или в общем виде 3x + y – 10 = 0.

г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH.

Прямая СН – это перпендикуляр к АВ: 2x – y + 5 = 0.

Уравнение СН: x + 2y + C = 0. Подставим С = (11; -3).

11 + 2*(-3) + С = 0, отсюда С = -11 + 6 = -5.

Уравнение СН: x + 2y - 5 = 0.

Находим точку пересечения АМ и СН.

АМ: 3x + y – 10 = 0. (х(-2)) = -6х – 2у + 20 = 0

СН: x + 2y - 5 = 0.                     x + 2y - 5 = 0  

                                                -5х      + 15 = 0,  

х = -15/(-5) = 3, у = 10 – 3х = 10 – 3*3 = 1.

Точка N(3; 1).

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB.

У этой прямой коэффициенты при переменных сохраняются.

2x – y + С = 0, подставим С = (11; -3).

2*11 – (-3) + С = 0, отсюда С = -22 – 3 = -24.

Уравнение: 2x – y - 24 = 0.

Answer 2

Дано: Вершины треугольника ABC: A(x1;y1) = A(1;7) B(x2;y2) = B(-3;-1) C(x3;y3) = C(11;-3)

а) Уравнение стороны AB:

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, используем формулу: y - y1 = m(x - x1), где m - коэффициент наклона прямой.

Найдем коэффициент наклона m: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 7) / (-3 - 1) = -8 / -4 = 2

Теперь подставим значения в формулу: y - 7 = 2(x - 1)

Упростим уравнение: y - 7 = 2x - 2

И окончательно: y = 2x + 5

Ответ: Уравнение стороны AB: y = 2x + 5

б) Уравнение высоты AB:

Высота AB проходит через вершину C и перпендикулярна стороне AB. Для нахождения уравнения высоты, найдем уравнение прямой, перпендикулярной AB.

Коэффициент наклона перпендикулярной прямой равен -1 / m, где m - коэффициент наклона стороны AB. m = 2 (из предыдущего пункта) Тогда коэффициент наклона перпендикулярной прямой будет равен -1 / 2.

Уравнение прямой, проходящей через точку C с коэффициентом наклона -1 / 2, можно записать в виде: y - y3 = (-1 / 2)(x - x3)

Подставляем значения: y + 3 = (-1 / 2)(x - 11)

Упростим уравнение: y + 3 = -(1 / 2)x + 11 / 2

И окончательно: 2y + 6 = -x + 11 2y = -x + 5

Ответ: Уравнение высоты AB: 2y = -x + 5

в) Уравнение медианы AM:

Медиана AM делит сторону BC пополам и проходит через вершину A и середину стороны BC.

Найдем координаты середины стороны BC: x_bc = (x2 + x3) / 2 = (-3 + 11) / 2 = 8 / 2 = 4 y_bc = (y2 + y3) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2

Теперь найдем коэффициент наклона медианы AM: m = (y - y1) / (x - x1) = (-2 - 7) / (4 - 1) = -9 / 3 = -3

Уравнение прямой, проходящей через точку A с коэффициентом наклона -3: y - y1 = -3(x - x1)

Подставляем значения: y - 7 = -3(x - 1)

Упростим уравнение: y - 7 = -3x + 3

И окончательно: y = -3x + 10

Ответ: Уравнение медианы AM: y = -3x + 10

г) Точка N пересечения медианы AM и высоты CH:

Для нахождения точки пересечения двух прямых, решим систему уравнений, состоящую из уравнений медианы AM и высоты CH.

Уравнение медианы AM: y = -3x + 10 Уравнение высоты CH: 2y = -x + 5

Подставим уравнение медианы в уравнение высоты: 2(-3x + 10) = -x + 5

Упростим уравнение: -6x + 20 = -x + 5

Перенесем все переменные на одну сторону: -6x + x = 5 - 20 -5x = -15

Разделим обе части уравнения на -5: x = 3

Подставим значение x в уравнение медианы AM: y = -3(3) + 10 y = -9 + 10 y = 1

Точка N имеет координаты (3, 1).

Ответ: Точка N пересечения медианы AM и высоты CH: N(3, 1)

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB:

Для нахождения уравнения прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C, используем формулу: y - y3 = m(x - x3), где m - коэффициент наклона прямой.

Коэффициент наклона стороны AB равен 2 (из пункта а).

Уравнение прямой, проходящей через точку C с коэффициентом наклона 2, будет иметь вид: y + 3 = 2(x - 11)

Упростим уравнение: y + 3 = 2x - 22

И окончательно: y = 2x - 25

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB: y = 2x - 25