Question

1)Записать уравнение плоскости по трём точкам А, В, с, если А(7; -1; -2), В(1; 7; 8), С(3; 7; 9). 2)Найти уравнение прямой 3)Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и записать вектор d в базисе (a, b, c), если a(-1, 2, -3); b(0, 2, 4); c(3, -1, 4) и d(-2, 3, 2)

Answer 1

1)Записать уравнение плоскости по трём точкам А, В, с, если  

А(7; -1; -2), В(1; 7; 8), С(3; 7; 9).

2)Найти уравнение прямой

 

3)Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и записать вектор d в базисе (a, b, c), если a(-1, 2, -3); b(0, 2, 4); c(3, -1, 4) и d(-2, 3, 2).

1) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA                  y - yA                  z - zA

xB - xA              yB - yA                 zB - zA

xC - xA              yC - yA                zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x – 7            y - (-1)            z - (-2)

1 – 7            7 - (-1)             8 - (-2)

3 – 7             7 - (-1)            9 - (-2) = 0

x – 7           y - (-1)             z - (-2)

 -6                 8                       10

-4                  8                       11 = 0

(x – 7 )(8·11-10·8)  - (y - (-1))((-6)·11-10·(-4)) + (z - (-2))((-6)·8-8·(-4)) = 0

8(x – 7) + 26(y - (-1)) + (-16)(z - (-2)) = 0

8x + 26y - 16z - 62 = 0

4x + 13y - 8z - 31 = 0.

2) Дана прямая d как линия пересечения плоскостей:

   {3x+2y-z-1=0; 2x-y+3z-4=0)

Направляющий вектор “p” нашей прямой ортогонален нормальным векторам n1 и n2 плоскостей. А если  , то вектор «p» найдём как векторное произведение векторов нормали:  .

Из уравнений плоскостей {(3x+2y-z-1=0; 2x-y+3z-4=0) снимаем их векторы нормали:

n1(3; 2; -1), n2(2; -1; 3).

И находим направляющий вектор p прямой d, перпендикулярный двум заданным с помощью векторного произведения.

I       j       k|        I       j

3     2     -1|        3      2

2    -1      3|        2      -1  = 6i - 2j - 3k - 9j - 1i – 4k = 5i - 11j - 7k.

Вектор p = (5; -11; -7).

Можно применить готовую формулу для определения направляющего вектора линии пересечения двух плоскостей.

p ⃗(|(B_1&[email protected]_2&C_2 )||(C_1&[email protected]_2&A_2 )||(A_1&[email protected]_2&B_2 )|)

p = (2*3 – (-1)*(-1); -1*2-3*3; 3*(-1)-2*2) = (5; -11; -7).

Далее надо найти точку на прямой.

Так как линия пересекает плоскость хОу, то в этой точке координата z = 0.

Поэтому в системе уравнений нужно обнулить координату z.  

Пусть z = 0, тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: {([email protected]=0)   {([email protected]=0)

Почленно складываем уравнения и находим решение системы:

7x  - 9 = 0,

x = 9/7,

y = 2х – 4  = 2(9/7) – 4 = -10/7.

Таким образом, точка M((9/7); (-10/7); 0) принадлежит данной прямой.  

Выполним проверку: подставим координаты точки  M((9/7); (-10/7); 0) в исходную систему уравнений:  

{(3(9/7)+2(-10/7)-0-1=27/7-20/7-7/7=0; 2(9/7)-(-10/7)+3*0-4=18/7+10/7-28/7=0)

Получены верные равенства, значит, действительно, M ∈ d.

Тогда по точке M((9/7); (-10/7); 0) и направляющему вектору p=(5; -11; -7) составляем уравнение прямой:

(x-(9/7))/5 = (y + (10/7))/(-11) = z/(-7).

3) Даны векторы a(-1;2;-3), b(0;2;4), c(3;-1;4), d(-2;3;2).

Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора d в этом базисе.

Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор d нельзя разложить по данному базису.

Вычислим определитель матрицы:

E = -1 2 -3

0 2 4

3 -1 4

∆ = -1*(2*4 - (-1)*4) - 0*(2*4 - (-1)*(-3)) + 3*(2*4 - 2*(-3)) = 30.

Определитель матрицы равен ∆ =30.

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство:

X = α1*a + α2*b + α3*c.

Запишем данное равенство в координатной форме:

(-2;3;2) = α(-1;2;-3) + α(0;2;4) + α(3;-1;4).

Используя свойства векторов, получим следующее равенство:

(-2;3;2) = (-1α1;2α1;-3α1;) + (0α2;2α2;4α2;) + (3α3;-1α3;4α3;)

(-2;3;2) = (-1α1 + 0α2 + 3α3;2α1 + 2α2 -1α3;-3α1 + 4α2 + 4α3)

По свойству равенства векторов имеем:

-1α1 + 0α2 + 3α3 = -2

2α1 + 2α2 -1α3 = 3

-3α1 + 4α2 + 4α3 = 2

Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.

Dx1 = -2 0 3      

3 2 -1 = 0  x1 =  0

2 4 4      

       

Dx2 = -1 -2 3      

2 3 -1 = 35  x2 =  35/30=7/6

-3 2 4      

       

Dx3 = -1 0 -2      

2 2 3 = -20  x3 =  -20/30=-2/3

-3 4 2      

Ответ:

X = 0

     7/6

     -2/3

X = (7/6)b  - (2/3)c.

Answer 2

Уравнение плоскости по трём точкам

Уравнение плоскости можно задать, зная координаты трех точек, которые лежат на этой плоскости. Для этого можно воспользоваться формулой, которая основана на векторном произведении.

Пусть точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3) лежат на плоскости. Тогда уравнение плоскости можно записать в следующем виде:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (y - y1)(z2 - z1)(x3 - x1) + (z - z1)(x2 - x1)(y3 - y1) - (z - z1)(y2 - y1)(x3 - x1) - (x - x1)(z2 - z1)(y3 - y1) - (y - y1)(x2 - x1)(z3 - z1) = 0

Подставляя координаты точек A(7, -1, -2), B(1, 7, 8) и C(3, 7, 9) в данное уравнение, получаем:

(x - 7)(7 - (-1))(9 - (-2)) + (y - (-1))(8 - (-2))(3 - 7) + (z - (-2))(1 - 7)(7 - (-1)) - (z - (-2))(8 - (-1))(3 - 7) - (x - 7)(8 - (-1))(7 - (-1)) - (y - (-1))(1 - 7)(9 - (-2)) = 0

Упрощая выражение, получаем окончательное уравнение плоскости:

-40x + 51y - 41z + 120 = 0

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A(7, -1, -2), B(1, 7, 8) и C(3, 7, 9), имеет вид -40x + 51y - 41z + 120 = 0.

Уравнение прямой

Для нахождения уравнения прямой, заданной двумя точками, мы можем использовать векторное уравнение прямой.

Пусть точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) лежат на прямой. Тогда векторное уравнение прямой может быть записано следующим образом:

r = A + t(B - A)

где r - радиус-вектор произвольной точки на прямой, t - параметр, который принимает любые значения.

Подставляя координаты точек A(7, -1, -2) и B(1, 7, 8) в векторное уравнение, получаем:

r = (7, -1, -2) + t((1, 7, 8) - (7, -1, -2))

Упрощая выражение, получаем окончательное уравнение прямой:

x = 7 - 6t

y = -1 + 8t

z = -2 + 10t

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A(7, -1, -2) и B(1, 7, 8), имеет вид x = 7 - 6t, y = -1 + 8t, z = -2 + 10t.

Доказательство базиса и запись вектора d в базисе (a, b, c)

Для доказательства того, что векторы a, b, c образуют базис, необходимо проверить их линейную независимость и полноту.

1) Линейная независимость: Векторы a, b, c линейно независимы, если уравнение a\*x + b\*y + c\*z = 0 выполняется только при x = 0, y = 0, z = 0.

Для проверки линейной независимости решим систему уравнений:

-1*x + 0*y + 3*z = 0
2*x + 2*y - 1*z = 0
-3*x + 4*y + 4*z = 0

Решением этой системы является только тривиальное решение x = 0, y = 0, z = 0. Следовательно, векторы a, b, c линейно независимы.

2) Полнота: Векторы a, b, c образуют базис, если любой вектор d может быть выражен через линейную комбинацию векторов a, b, c.

Для записи вектора d в базисе (a, b, c), найдем коэффициенты x, y, z, такие что d = x\*a + y\*b + z\*c.

Подставляя координаты векторов a(-1, 2, -3), b(0, 2, 4), c(3, -1, 4) и d(-2, 3, 2) в данное уравнение, получаем систему уравнений:

-1*x + 0*y + 3*z = -2
2*x + 2*y - 1*z = 3
-3*x + 4*y + 4*z = 2

Решая эту систему уравнений, находим x = -1, y = 1, z = 1. Таким образом, вектор d(-2, 3, 2) может быть выражен через линейную комбинацию векторов a, b, c следующим образом:

d = -1\*a + 1\*b + 1\*c

Таким образом, векторы a, b, c образуют базис, и вектор d может быть записан в базисе (a, b, c) как -1\*a + 1\*b + 1\*c.