Question

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=1/x^2, y=0, x=3, равна ...​

Answer 1

Ответ:

Нам надо найти площадь закрашенной области

${x}^{2} = \frac{1}{ {x}^{2} }$

Допустим х²=t

$t = \frac{1}{t} \\ {t}^{2} = 1 \\ t = \pm 1$

$\left \{ {{ {x}^{2} = - 1 } \atop { {x}^{2} = 1 }} \right . \: \: \: \: \: \: = > \: \: \: \: \: \: \left \{ {{x \in \varnothing} \atop {x_{1} = - 1 \: \: \: \: \: \: \: x_{2} = 1 }} \right .$

Нам нужен 1, потому что у нас площадь ограничена от 0 до 3. И кстати эта единица делит площадь на две части, красную и синюю на нашем рисунке.

Сначала найдем площадь красной части:

$\int_{0}^{1} {x}^{2} dx = ( \frac{{x}^{3} }{3} )| _{0}^{1} = \frac{ {1}^{3} }{3} - \frac{ {0}^{3} }{3} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем синюю часть

$\int_{1}^{3} \frac{1}{ {x}^{2} } dx = \int_{1}^{3} {x}^{ - 2} dx = ( \frac{ {x}^{ - 1} }{ -1 } )| _{1}^{3} = ( - \frac{1}{x} ) | _{1}^{3} = - \frac{1}{3} - ( - \frac{1}{1} ) = - \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$

Мы нашли площади по отдельности, потому что их функции разные и разделяются они в точке пересечения 1.

Осталось только соединить две площади

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Площадь данной фигуры 1 квадратная единица (кв. ед.)

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=1/x^2, y=0 и x=3.

Нахождение точек пересечения

Для начала, найдем точки пересечения данных линий.

Уравнение y=x^2 представляет параболу, а уравнение y=1/x^2 представляет гиперболу. Поставим их равными друг другу и решим уравнение:

x^2 = 1/x^2

Умножим обе части на x^2:

x^4 = 1

Возведем обе части в квадратный корень:

x^2 = ±1

Таким образом, получаем две точки пересечения: (1, 1) и (-1, 1).

Теперь найдем точку пересечения между параболой y=x^2 и прямой x=3. Подставим x=3 в уравнение параболы:

y = (3)^2 = 9

Таким образом, получаем точку пересечения (3, 9).

Нахождение площади фигуры

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, мы можем разделить ее на две части: треугольник и фигуру, ограниченную параболой и гиперболой.

1. Треугольник: - Основание треугольника - отрезок между точками (1, 1) и (3, 9). - Высота треугольника - расстояние между прямой x=3 и осью x. - Площадь треугольника можно найти по формуле: S = (основание * высота) / 2.

2. Фигура, ограниченная параболой и гиперболой: - Площадь этой фигуры можно найти путем интегрирования функций y=x^2 и y=1/x^2 на интервале от x=1 до x=3. - Площадь фигуры равна разности интегралов этих функций на данном интервале.

Расчет площади треугольника

Для начала, найдем высоту треугольника. Расстояние между прямой x=3 и осью x равно 3. Таким образом, высота треугольника равна 3.

Теперь, найдем длину основания треугольника. Расстояние между точками (1, 1) и (3, 9) можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

d = sqrt((3 - 1)^2 + (9 - 1)^2) = sqrt(4 + 64) = sqrt(68) = 2*sqrt(17)

Таким образом, длина основания треугольника равна 2*sqrt(17).

Теперь, используя формулу для площади треугольника, найдем площадь треугольника:

S = (основание * высота) / 2 = (2*sqrt(17) * 3) / 2 = 3*sqrt(17)

Расчет площади фигуры, ограниченной параболой и гиперболой

Для расчета площади фигуры, ограниченной параболой y=x^2 и гиперболой y=1/x^2, мы можем вычислить разность интегралов этих функций на интервале от x=1 до x=3.

Интеграл функции y=x^2 на данном интервале:

∫(1 to 3) x^2 dx = [x^3/3] (1 to 3) = (3^3/3) - (1^3/3) = 9 - 1/3 = 26/3

Интеграл функции y=1/x^2 на данном интервале:

∫(1 to 3) 1/x^2 dx = [-1/x] (1 to 3) = (-1/3) - (-1/1) = -1/3 + 1 = 2/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой и гиперболой, равна разности этих интегралов:

S = (26/3) - (2/3) = 24/3 = 8

Итоговый ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=1/x^2, y=0 и x=3, равна сумме площади треугольника и площади фигуры, ограниченной параболой и гиперболой:

S = 3*sqrt(17) + 8

Ответ: S = 3*sqrt(17) + 8.