Question

Найдите производную функции y=1/2tg(4x-π)+π/4 при x=π/4

Answer 1

Ответ:

Сначала упростим функцию, применив формулы приведения. Затем воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:  $\Big(tgu)'=\dfrac{1}{cos^2u}\cdot u'$  

$\displaystyle y=\dfrac{1}{2}\, tg(4x-\pi )+\frac{\pi }{4}\ \ ,\ \ \ x=\frac{\pi }{4}\ \ ,\\\\\\y=\frac{1}{2}\cdot \Big(-tg(\pi -4x\Big)+\frac{\pi}{4}\ \ ,\ \ \ y=-\frac{1}{2}\, tg4x+\frac{\pi }{4}\\\\\\y'=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{cos^24x}\cdot (4x)'=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{cos^24x}\cdot 4=-\frac{2}{cos^24x}$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = (1/2)tg(4x - π) + π/4 по переменной x, воспользуемся правилом дифференцирования для тангенса и сложной функции.

Правило дифференцирования тангенса: d(tg(u))/du = sec^2(u)

Применяя это правило, производная функции tg(4x - π) будет равна: d(tg(4x - π))/dx = 4 * sec^2(4x - π)

Теперь применим правило дифференцирования для суммы функций, чтобы найти производную всей функции y по x:

dy/dx = (1/2) * d(tg(4x - π))/dx

dy/dx = (1/2) * 4 * sec^2(4x - π)

dy/dx = 2 * sec^2(4x - π)

Теперь найдем значение производной при x = π/4, подставив его в полученную производную:

dy/dx = 2 * sec^2(4(π/4) - π)

dy/dx = 2 * sec^2(π - π)

dy/dx = 2 * sec^2(0)

sec(0) = 1, поэтому sec^2(0) = 1

dy/dx = 2

Таким образом, производная функции y = (1/2)tg(4x - π) + π/4 при x = π/4 равна 2.