Question

Решить дифференциальное уравнение x*y''+y'+x=0 у(1)=0,5. y’(1)=0

Answer 1

$\rm xy''+y'=-x$

$\rm \Big(x\cdot y'\Big)'=-x$

Проинтегрируем обе части уравнения

$\rm x\cdot y'=\displaystyle \int -x\,\, dx\\\\x\cdot y'=-\dfrac{x^2}{2}+C_1\\ \\ y'=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x}$

Опять же проинтегрировав обе части уравнения, получим:

$\rm \displaystyle y=\int \left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x}\right)dx\\\\ y=-\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{C_1}{x^2}+C_2$

Определим константы $\rm C_1$ и $\rm C_2$, подставив начальные условия.

$\rm \displaystyle \left \{ {{0=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{C_1}{1}} \atop {\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1^2}{4}-\dfrac{C_1}{1^2}+C_2}} \right. \Rightarrow~\left \{ {{C_1=\dfrac{1}{2}} \atop {C_2=-\dfrac{1}{4}}} \right.$

Искомое частное решение: $y=-\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{1}{2x^2}-\dfrac{1}{4}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка с переменными коэффициентами. Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться методом приведения к уравнению с постоянными коэффициентами.

Для начала, давайте введем новую переменную z, которая будет равна производной y по x:

z = y'

Теперь, найдем вторую производную y по x:

y'' = (dz)/(dx)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

x * (dz)/(dx) + z + x = 0

Теперь, давайте приведем уравнение к уравнению с постоянными коэффициентами. Для этого, мы должны заменить переменную x на новую переменную t, где:

x = e^t

Теперь, найдем производную z по t:

(dz)/(dt) = (dz)/(dx) * (dx)/(dt) = (dz)/(dx) * (1)/(e^t) = (dz)/(dx) * (1)/(x)

Теперь, заменим переменные и производные в исходном уравнении:

x * (dz)/(dx) + z + x = 0 e^t * (dz)/(dt) + z + e^t = 0

Дальше, мы можем упростить это уравнение, разделив на e^t:

(dz)/(dt) + (z)/(e^t) + 1 = 0

Теперь, это уравнение является уравнением с постоянными коэффициентами. Давайте решим его.

Для решения этого уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянных. Предполагая, что z имеет вид:

z = C * e^(-t)

где C - постоянная, которую мы должны определить.

Теперь, найдем производную z по t:

(dz)/(dt) = (-C) * e^(-t)

Подставим значения z и (dz)/(dt) в уравнение:

(-C) * e^(-t) + (-C) * e^(-t) + 1 = 0

2 * C * e^(-t) + 1 = 0

Теперь, решим это уравнение относительно C:

2 * C * e^(-t) = -1 C * e^(-t) = (-1)/(2) C = (-1)/(2 * e^(-t))

Теперь, мы определили значение C. Вернемся к выражению для z:

z = C * e^(-t) z = (-1)/(2 * e^(-t)) * e^(-t) z = (-1)/(2)

Теперь, мы нашли значение z. Для того, чтобы найти y, мы должны интегрировать z по переменной t:

y = ∫(z) dt y = ∫((-1)/(2)) dt y = (-1/2) * t + K

где K - постоянная интегрирования.

Теперь, мы получили общее решение уравнения. Чтобы найти значение K, мы должны использовать начальные условия уравнения.

Дано: y(1) = 0.5 y'(1) = 0

Подставим эти значения в общее решение:

y(1) = (-1/2) * (1) + K = 0.5 -1/2 + K = 0.5 K = 0.5 + 1/2 K = 1

Теперь, мы нашли значение K. Подставим его в общее решение:

y = (-1/2) * t + 1

Таким образом, решение дифференциального уравнения x*y'' + y' + x = 0, удовлетворяющее начальным условиям y(1) = 0.5 и y'(1) = 0, равно:

y = (-1/2) * t + 1

Это подробное решение данного дифференциального уравнения.