Question

Найти производную пятнадцатого порядка по формуле Лейбница от функции f(x)=x*sin(2x)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$f(x)=x*\sin(2x)$

$u=x\\v=\sin(2x)$

$(uv)^{(15)}=\sum\limits_{k=0}^{15}C\limits_{15}^{k}u^{(k)}v^{(15-k)}$

$(x*\sin(2x))^{(15)}=\sum\limits_{k=0}^{15}C\limits_{15}^{k}x^{(k)}(\sin(2x))^{(15-k)}$

$C\limits_{15}^{k}=\dfrac{15!}{(15-k)!k!}$

$(x*\sin(2x))^{(15)}=x(\sin(2x))^{(15)}+15(\sin(2x))^{(14)}$

$(\sin(2x))^{(n)}=2^n\cdot\sin\left(2x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$

$(\sin(2x))^{(15)}=2^{15}\sin\left(2x+\dfrac{15\pi}{2}\right)=-2^{15}\cos(2x)$

$(\sin(2x))^{(14)}=2^{14}\sin\left(2x+7\pi\right)=-2^{14}\sin(2x)$

$(x*\sin(2x))^{(15)}=-2^{14}\left(2x\cos(2x)+15\sin(2x)\right)$

Задание выполнено!

Answer 2

Для нахождения производной пятнадцатого порядка от функции f(x) = x*sin(2x) с использованием формулы Лейбница необходимо последовательно применить эту формулу 15 раз. Перед каждым применением формулы Лейбница мы будем брать производную от полученного выражения. Начнем с первого порядка производной:

f'(x) = (xsin(2x))' = xcos(2x) + sin(2x)

Теперь продолжим, применяя формулу Лейбница и беря производные:

f''(x) = (xcos(2x) + sin(2x))' = (xcos(2x))' + (sin(2x))' = (cos(2x) - 2xsin(2x)) + 2cos(2x) = 3cos(2x) - 2xsin(2x)

f'''(x) = (3cos(2x) - 2xsin(2x))' = (3cos(2x))' - (2xsin(2x))' = -6sin(2x) - 4xcos(2x)

Продолжая этот процесс, мы получим следующие производные:

f''''(x) = -12sin(2x) - 8xcos(2x) f'''''(x) = -16cos(2x) + 8xsin(2x) f''''''(x) = 32sin(2x) + 16xcos(2x) f'''''''(x) = 32cos(2x) - 16xsin(2x) f''''''''(x) = -64sin(2x) - 32xcos(2x) f'''''''''(x) = -64cos(2x) + 32xsin(2x) f''''''''''(x) = 128sin(2x) + 64xcos(2x) f'''''''''''(x) = 128cos(2x) - 64xsin(2x) f''''''''''''(x) = -256sin(2x) - 128xcos(2x) f'''''''''''''(x) = -256cos(2x) + 128xsin(2x) f''''''''''''''(x) = 512sin(2x) + 256xcos(2x) f'''''''''''''''(x) = 512cos(2x) - 256xsin(2x) f''''''''''''''''(x) = -1024sin(2x) - 512xcos(2x) f'''''''''''''''''(x) = -1024cos(2x) + 512xsin(2x)

Таким образом, производная пятнадцатого порядка по формуле Лейбница от функции f(x) = x*sin(2x) будет:

f^(15)(x) = -1024*sin