Question

56. Найдите объём тела, образованного вращением фигуры ниченной линиями y = x, x=1, x=4, вокруг оси Ох.​

Answer 1

Ответ:

V=π*$(y²)dx=$xdx=π*x²/2 ( 1 4)=

π*(16/2-1/2)=π*15/2=7,5π

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением фигуры ограниченной линиями y = x, x = 1, x = 4 вокруг оси Ох, мы можем использовать метод цилиндров разреза.

Шаг 1: Рисование фигуры и оси вращения

Начнем с наброска фигуры и оси вращения Ох на координатной плоскости:


Шаг 2: Разрез фигуры на бесконечно малые цилиндры

Теперь мы разрежем фигуру на бесконечно малые цилиндры, параллельные оси Ох. Каждый цилиндр будет иметь высоту dx и радиус, равный текущему значению функции y = x для данной точки x.

Шаг 3: Вычисление объема каждого цилиндра

Объем цилиндра можно вычислить по формуле: V = π * r² * h, где r - радиус цилиндра, а h - высота цилиндра.

В данном случае, радиус цилиндра будет равен текущему значению x, а высота цилиндра будет равна dx.

Таким образом, объем каждого цилиндра будет равен: dV = π * x² * dx.

Шаг 4: Суммирование объемов всех цилиндров

Чтобы найти полный объем тела, мы должны сложить объемы всех цилиндров. Для этого мы будем интегрировать выражение dV = π * x² * dx от x = 1 до x = 4.

Объем тела будет равен: V = ∫(от 1 до 4) π * x² * dx.

Шаг 5: Вычисление интеграла

Вычислим интеграл ∫(от 1 до 4) π * x² * dx:

V = π * ∫(от 1 до 4) x² * dx.

Интегрируя, получаем:

V = π * [x³/3] (от 1 до 4).

V = π * [(4³/3) - (1³/3)].

V = π * [(64/3) - (1/3)].

V = π * (63/3).

V = 21π.

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры ограниченной линиями y = x, x = 1, x = 4 вокруг оси Ох, равен 21π.