Question

Точка пересечения высот равнобедренного треугольника лежит на его вписанной окружности с радиусом 4 . Найдите длину основания треугольника.

Answer 1

Ответ:

Пусть a -- боковая сторона, b -- половина основания. Тогда p=a+b, S=pr=bh, где h=sqrt(a^2-b^2) -- высота к основанию. Имеем уравнение 80(a+b)^2=b^2(a^2-b^2), или 80(a+b)=b^2(a-b).

Составим второе уравнение. Высота к боковой стороне проходит через точку пересечения вписанной окружности и высоты. Угол между этой высотой и основанием равен половине угла между боковой стороной и высотой к основанию. Отсюда из подобия двух прямоугольных треугольников получается b/(8sqrt(5))=h/b, то есть b^4=320(a^2-b^2).

Сравним это с ранее полученным уравнением b^2(a-b)=80(a+b). Отношение левых частей двух уравнений равно отношению правых: b^2/(a-b)=4(a-b), откуда b=2(a-b), то есть 2a=3b.

Полагая a=3t, b=2t и подставляя в b^2(a-b)=80(a+b), получаем 4t^3=80(5t), откуда t=10, a=30 (боковая сторона), 2b=40 (основание).

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства равнобедренных треугольников и вписанных окружностей.

Давайте обозначим равнобедренный треугольник как ABC, где AB = AC. Пусть точка пересечения высот лежит на вписанной окружности с радиусом r = 4. Обозначим эту точку как H.

Свойство 1: Длины отрезков, проведенных из вершин треугольника к точке пересечения высот, равны. То есть AH = BH = CH.

Свойство 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании и медиана, проведенная из вершины треугольника к основанию, являются одной и той же линией. Это означает, что медиана BH является одновременно и биссектрисой угла B и медианой треугольника ABC.

Свойство 3: Точка пересечения биссектрисы угла при основании и вписанной окружности лежит на дуге, противолежащей этому углу.

Из этих свойств следует, что точка пересечения высот H является серединой дуги AC вписанной окружности, противолежащей углу BAC.

Поскольку радиус вписанной окружности равен 4, мы можем использовать это знание для нахождения длины основания треугольника.

Шаг 1: Найдем длину отрезка AH. Поскольку AH является высотой треугольника ABC, она делит основание BC пополам. Поэтому AH = BC / 2.

Шаг 2: Так как точка H является серединой дуги AC вписанной окружности, длина отрезка AH равна половине длины дуги AC. Значит, AH = AC / 2.

Шаг 3: Согласно свойству 1, AH = BH = CH. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AH = AC / 2 = AB / 2.

Шаг 4: Обозначим длину основания треугольника как x. Тогда AB = AC = x.

Шаг 5: Из шагов 3 и 4 мы получаем уравнение AB / 2 = x / 2. Разделив обе части этого уравнения на 2, получаем AB = x.

Шаг 6: Из шага 5 следует, что радиус вписанной окружности r = 4 равен половине длины основания треугольника. То есть x = 2r = 2 * 4 = 8.

Таким образом, длина основания треугольника равна 8.