Question

найти все натуральные значения n удовлетворяющие уравнению 2022*[n*sqr(1011^2+1)]=n*[2022*sqr(1011^2+1)] , где [х] - наибольшее целое числоне превосходящее числа. ​

Answer 1

Ответ:

$1;2;...;2022$

Пошаговое объяснение:

Заметим:

$1011=\sqrt{1011^2}$

Отсюда

$2022\cdot 1011$

Но это означает, что

$\left\lfloor2022\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=2022\cdot 1011$

Значит, уравнение равносильно

$2022\cdot\left\lfloor n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=n\cdot 2022\cdot 1011$

$\left\lfloor n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=n\cdot 1011$

Если решения данного уравнения существуют, то, по определению дробной части числа, верно неравенство

$n\cdot\sqrt{1011^2+1}-n\cdot 1011\leq 1\\ n\leq \dfrac{1}{\sqrt{1011^2+1}-1011}=\dfrac{\sqrt{1011^2+1}+1011}{1011^2+1-1011^2}=\sqrt{1011^2+1}+1011$

$n\in N\Rightarrow n\leq 2022$

Но для таких значений переменной верны неравенства

$n\cdot 1011< n\cdot\sqrt{1011^2+1}То есть [tex]\forall n\in N, n\leq 2022$ по определению целой части числа равенство $\left\lfloor n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=n\cdot 1011$ верно. Значит, все натуральные значения $n\leq 2022$ являются корнями данного уравнения.

Answer 2

Пусть $\sqrt{1011^2+1} = 1011+r,\; 0$. Заметим, что $1011^2+1=1011^2+2022r+r^2 \Leftrightarrow r(2022+r)=1 \Rightarrow r = \dfrac{1}{2022+r} < \dfrac{1}{2022}$, поэтому $\left[2022\cdot \sqrt{1011^2+1}\right] = \left[2022\cdot 1011+2022r\right] = 2022\cdot 1011$. Тем самым уравнение перепишется в виде $2022\cdot \left[n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right] = 2022\cdot 1011\cdot n \Leftrightarrow \left[n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right] = 1011\cdot n$.

Теперь подход примерно такой же: $\left[1011n+nr\right] = 1011 n$. Если $n\leq 2022$, то равенство выполняется. Пусть $n\geq 2023$. Тогда $2023r = \dfrac{2023}{2022+r}>1$, значит, равенство выполняться уже не будет. Получаем, что решениями будут натуральные числа $n\in\overline{1,2022}$.

Answer 3

Я могу помочь вам решить уравнение, которое вы задали.

Уравнение 2022*[n*sqr(1011^2+1)]=n*[2022*sqr(1011^2+1)] можно переписать в виде:

2022*[n*sqr(1011^2+1)] - n*[2022*sqr(1011^2+1)] = 0

Вынесем общий множитель 2022*sqr(1011^2+1) за скобки:

(2022*sqr(1011^2+1))*(n - [n]) = 0

Так как 2022*sqr(1011^2+1) не равно нулю, то уравнение имеет смысл только при n - [n] = 0, то есть при n = [n].

Но что такое [n]? Это наибольшее целое число, не превосходящее n. Например, [3.14] = 3, [5] = 5, [-2.7] = -3.

Значит, уравнение имеет решение, если n является целым числом. Но вам нужно найти все натуральные значения n, то есть положительные целые числа.

Тогда ответом будет: все натуральные числа n являются решениями уравнения.

Надеюсь, это помогло вам. Если вы хотите узнать больше о решении уравнений, вы можете посмотреть эти ссылки:

- [Уравнение — Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5) - [Неравенства - определение и вычисление с примерами решения](https://www.evkova.org/neravenstva) - [(Решено)Упр.90 ГДЗ Мерзляк 8 класс по алгебре](https://reshak.ru/otvet/reshebniki.php?otvet=90&predmet=merzlyak8)