Question

Артём загадал натуральное число N⩽12. Вася может назвать натуральное число M, после чего Артём сообщит ему, чему равен наибольший общий делитель чисел M и N. Найдите наименьшее возможное значение M, при котором Вася по такому ответу гарантированно сможет узнать число N.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Если Артем загадал простое число, например, 7 или 11, то почти любое число, названное Васей, даст НОД = 1.

Но по этому ответу Вася ничего не сможет решить.

Если только Вася угадает и назовет тоже число, которое загадал Артем, тогда и ответ будет отличный от 1.

Так что можно ответить, что такого числа М не существует.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется найти наименьшее возможное значение M, при котором Вася сможет гарантированно узнать число N, зная лишь наибольший общий делитель чисел M и N.

Решение:

Давайте посмотрим на возможные значения N и их наибольшие общие делители с числом M.

N = 1: НОД(M, 1) = 1 N = 2: НОД(M, 2) = 1 или 2 N = 3: НОД(M, 3) = 1, если M нечетное; 3, если M четное N = 4: НОД(M, 4) = 1, 2 или 4 N = 5: НОД(M, 5) = 1 N = 6: НОД(M, 6) = 1, 2 или 3 N = 7: НОД(M, 7) = 1 N = 8: НОД(M, 8) = 1, 2 или 4 N = 9: НОД(M, 9) = 1, если M нечетное; 3, если M четное; 9, если M кратно 9 N = 10: НОД(M, 10) = 1 или 2 N = 11: НОД(M, 11) = 1 N = 12: НОД(M, 12) = 1, 2, 3 или 4

Из этого анализа видно, что чтобы гарантированно узнать число N, Васе нужно выбрать такое M, при котором для каждого N существует только одно возможное значение НОД(M, N).

Таким образом, мы можем выбрать M = 7, потому что для N = 7 значение НОД(M, N) равно 1, и это единственное возможное значение для N = 7.

Таким образом, наименьшее возможное значение M, при котором Вася гарантированно сможет узнать число N, это M = 7.