Question

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции а)y= x^3-3x+2 б) y=19-8x+x^2​

Answer 1

Ответ:

Производная данной функции равна:  , найдём точки экстремума, приравняв к нулю:

2x+3=0

x=-1,5

_-_(-1,5)_+_      ⇒ x=-1,5-точка минимума, значит функция убывает при х∈(-∞;-1,5), а возрастает, при х∈(-1,5;+∞)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функций, необходимо проанализировать их производные. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Функция а: y = x^3 - 3x + 2

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума этой функции, нужно вычислить её производную и найти её корни.

1. Вычислим производную функции y по x:

y' = 3x^2 - 3

2. Найдем корни производной, решив уравнение:

3x^2 - 3 = 0

Решая это уравнение, получим:

x^2 - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

Таким образом, корни производной равны x = 1 и x = -1.

3. Теперь мы можем определить промежутки монотонности и точки экстремума.

- Если производная положительна на промежутке (-∞, -1), то функция возрастает на этом промежутке. - Если производная отрицательна на промежутке (-1, 1), то функция убывает на этом промежутке. - Если производная положительна на промежутке (1, +∞), то функция снова возрастает на этом промежутке.

То есть, у нас есть следующие промежутки монотонности:

- Функция возрастает на промежутке (-∞, -1). - Функция убывает на промежутке (-1, 1). - Функция возрастает на промежутке (1, +∞).

Чтобы найти точки экстремума, нужно проанализировать поведение функции в окрестности найденных корней производной.

- При x = -1, производная меняет знак с отрицательного на положительный, что означает, что у функции есть локальный минимум в точке (-1, 0). - При x = 1, производная меняет знак с положительного на отрицательный, что означает, что у функции есть локальный максимум в точке (1, 2).

Таким образом, у функции y = x^3 - 3x + 2 есть одна точка экстремума: локальный минимум в точке (-1, 0) и локальный максимум в точке (1, 2).

Функция б: y = 19 - 8x + x^2

Давайте применим аналогичный подход к этой функции.

1. Вычислим производную функции y по x:

y' = 2x - 8

2. Найдем корни производной, решив уравнение:

2x - 8 = 0

Решая это уравнение, получим:

x = 4

Таким образом, корень производной равен x = 4.

3. Определим промежутки монотонности и точки экстремума.

- Если производная положительна на промежутке (-∞, 4), то функция возрастает на этом промежутке. - Если производная отрицательна на промежутке (4, +∞), то функция убывает на этом промежутке.

То есть, у нас есть следующий промежуток монотонности:

- Функция возрастает на промежутке (-∞, 4). - Функция убывает на промежутке (4, +∞).

Аналогично, чтобы найти точку экстремума, нужно проанализировать поведение функции в окрестности найденного корня производной.

- При x = 4, производная равна 0, что означает, что у функции есть точка экстремума в точке (4, 3).

Таким образом, у функции y = 19 - 8x + x^2 есть одна точка экстремума: локальный максимум в точке (4, 3).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте знать.