Question

Исмаил утверждает что если число m-любое простое число большее 3,тогда двучлен m^2 - 1 полностью делится на 12.по-вашему это предложение верно? а)Верность предложения ,проверьте, поставив в место m любое простое число б)разложите двучлен m^2 - 1 на множители .Выясните почему полученное произведение делится на 4. Как можно обосновать деление этого произведения на 3? Назовите полученный результат.

Answer 1

Ответ:

Кажется верное предложение Б)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим предложение, утверждающее, что если число m является простым числом, большим 3, то двучлен m^2 - 1 полностью делится на 12.

а) Чтобы проверить верность этого предложения, мы можем подставить любое простое число больше 3 вместо m и проверить, делится ли двучлен m^2 - 1 на 12. Давайте возьмем, например, число 5 и подставим его вместо m:

m = 5 m^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24

Мы видим, что двучлен m^2 - 1 равен 24, и чтобы узнать, делится ли он на 12, мы можем проверить, делится ли он на 4 и на 3.

b) Теперь давайте разложим двучлен m^2 - 1 на множители и выясним, почему полученное произведение делится на 4.

m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1)

Теперь, чтобы понять, почему полученное произведение делится на 4, нам нужно рассмотреть два случая:

1) Когда m - четное число: Если m - четное число, то m можно представить в виде m = 2k, где k - целое число. Подставим это в разложение:

(m + 1)(m - 1) = (2k + 1)(2k - 1)

Мы видим, что полученное произведение является произведением двух нечетных чисел (2k + 1 и 2k - 1), и по свойству произведения двух нечетных чисел, оно всегда делится на 4.

2) Когда m - нечетное число: Если m - нечетное число, то m можно представить в виде m = 2k + 1, где k - целое число. Подставим это в разложение:

(m + 1)(m - 1) = (2k + 2)(2k)

Мы видим, что полученное произведение является произведением двух четных чисел (2k + 2 и 2k), и по свойству произведения двух четных чисел, оно также всегда делится на 4.

Таким образом, полученное произведение всегда делится на 4, независимо от того, является ли число m простым или нечетным.

Чтобы обосновать деление полученного произведения на 3, нам нужно использовать теорию остатков. Если мы представим m в виде m = 3k + r, где k - целое число, а r - остаток от деления m на 3, то мы можем подставить это в разложение:

(m + 1)(m - 1) = (3k + r + 1)(3k + r - 1)

Теперь мы можем рассмотреть несколько случаев:

1) Когда r = 0: Если r = 0, то m делится на 3 без остатка. Подставим это в разложение:

(3k + 0 + 1)(3k + 0 - 1) = (3k + 1)(3k - 1)

Мы видим, что полученное произведение является произведением двух чисел, разность которых равна 2, и по свойству произведения двух чисел, разность которых равна 2, оно всегда делится на 3.

2) Когда r = 1: Если r = 1, то m даёт остаток 1 при делении на 3. Подставим это в разложение:

(3k + 1 + 1)(3k + 1 - 1) = (3k + 2)(3k)

Мы видим, что полученное произведение является произведением двух чисел, одно из которых делится на 3, и по свойству произведения двух чисел, одно из которых делится на 3, оно также всегда делится на 3.

3) Когда r = 2: Если r = 2, то m даёт остаток 2 при делении на 3. Подставим это в разложение:

(3k + 2 + 1)(3k + 2 - 1) = (3k + 3)(3k + 1)

Мы видим, что полученное произведение является произведением двух чисел, сумма которых равна 4, и по свойству произведения двух чисел, сумма которых равна 4, оно также всегда делится на 3.

Таким образом, полученное произведение всегда делится на 3, независимо от остатка m при делении на 3.

Полученный результат: двучлен m^2 - 1 полностью делится на 12 и может быть разложен на множители (m + 1)(m - 1), которые всегда делятся на 4 и 3, соответственно.