Question

Решить в натуральных числах x^2y+y^2x-y^2-x^2=1​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$x^2y+y^2x-y^2-x^2=1\\xy(x+y)-(x^2+y^2)=1\\xy(x+y)-(x+y)^2+2xy=1$

Замена: $x+y=u,\;xy=v$.

Тогда:

$uv-u^2+2v=1\\v(u+2)=1+u^2\\v=\dfrac{1+u^2}{u+2}$

Выполним деление уголком и получим:

$v=u-2+\dfrac{5}{u+2}$

Откуда очевиден переход (нам нужны натуральные решения!):

$\left[\begin{array}{c}u+2=\pm1\\u+2=\pm5\end{array}\right;$

Откуда $u=-1,\;u=-3,\;u=3,\;u=-7$.

Так как по условию просят найти только натуральные решения, очевидно, что случаи $u=-1,\;u=-3,\;u=-7$ рассматривать не надо, так как сумма натуральных чисел есть натуральное число.

Тогда имеем единственный случай

$u=3,\;v=2$

Выполним обратную замену, получив систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{c}x+y=3\\xy=2\end{array}\right;$

Проводя аналогию с теоремой Виета, получаем, что ответом будет две пары: $(1;\;2)$ и $(2;\;1)$.

Задание выполнено!

Комментарий:

Несложно найти все целые решения. Покажем это:

Для каждого $u$ найдем $v$:

$u=-1,\;v=2;\;u=-3,\;v=-10;\;u=3,\;v=2;\;u=-7,\;v=-10$

Мы получили системы уравнений (делаем обратную замену):

$\left\{\begin{array}{c}x+y=y\\xy=v\end{array}\right;$

Решая системы для каждого из случаев, получаем:

1) ничего не дает

2) $x=-5,\;y=2$ или $x=2,\;y=-5$.

3) $x=1,\;y=2$ или $x=2,\;y=1$.

4) ничего не дает

Answer 2

Дано уравнение в натуральных числах:

x^2y + y^2x - y^2 - x^2 = 1

Давайте решим его. Один из способов решения состоит в переформулировке уравнения в виде системы уравнений.

Перепишем уравнение:

x^2y + y^2x - y^2 - x^2 = 1

Перегруппируем члены:

x^2y - x^2 + y^2x - y^2 = 1

Теперь вынесем общий множитель из первых двух членов и последних двух членов:

x^2(y - 1) + y^2(x - 1) = 1

Заметим, что левая часть уравнения может быть записана в виде (y - 1)x^2 + (x - 1)y^2.

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: x = 1 Если x = 1, подставим это значение в исходное уравнение:

y^2 - y^2 - 1 = 1

-1 = 1

Это противоречие, поэтому в случае x = 1 решений нет.

Случай 2: x > 1 Если x > 1, то (y - 1) должно делить 1. Так как y - 1 является натуральным числом, это означает, что y - 1 = 1.

Таким образом, получаем y = 2.

Подставим значение y = 2 в исходное уравнение:

x^2 * 2 + 2^2 * x - 2^2 - x^2 = 1

2x^2 + 4x - 4 - x^2 = 1

x^2 + 4x - 5 = 0

Разложим на множители:

(x + 5)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных решения:

1. x + 5 = 0, откуда x = -5. Но по условию дано, что x - натуральное число, поэтому это решение отбрасываем.

2. x - 1 = 0, откуда x = 1.

Итак, получаем решение уравнения в натуральных числах: x = 1, y = 2.