Question

Даю 20 баллов Координаты треугольника: А (4; 8) В ( -2; 10) С (6; 2) Найти: 1) уравнение сторон треугольника 2) угол А 3) уравнение медианы BM 4) Уравнение высоты СН 5) Уравнение прямой АК || ВС 6) центр тяжести 7) расстояние от центра тяжести до стороны АВ 8) В системе координат построить треугольник и все найденные элементы 9) найти периметр треугольника 10) найти площадь треугольника

Answer 1

Координаты треугольника:

А (4; 8), В ( -2; 10), С (6; 2).

Найти:

1) уравнение сторон треугольника.

Координаты векторов сторон

АВ (c) BC (a) AС (b)

x y x y x y

-6 2 8 -8 2 -6

Длины сторон АВ (с)= √(36+ 4) = √40 = 6,32456

                BC (а)=  √(64+ 64) = √128 = 11,3137

               AC (b)= √(4+ 36) = √40 = 6,32456

Периметр Р =     23,9628

Полупериметр р=     11,9814

Уравнения сторон:

АВ: (х – 4)/(-6) = (у – 8)/2.

ВС: : (х + 2)/8 = (у – 10)/(-8).

АС: (х – 4)/2 = (у – 8)/(-6).

2) угол А.

cos A = (-6*2 + 2*(-6))/( √40*√40) = -24/40 = -3/5.

Угол А = arccos(-3/5) = 126,8699 градуса.

3) уравнение медианы BM.

Находим координаты точки М как середины стороны АС.

М = А (4; 8) + С (6; 2))/2 = (5; 5).

Вектор ВМ = (5 – (-2); 5 – 10) = (7; -5).

Уравнение ВМ: (х + 2)/7 = (у – 10)/(-5).

4) Уравнение высоты СН.

Вектор СН перпендикулярен вектору АВ.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x * b x + a y * b y = 0

Для вектора АВ (-6; 2) такому условию соответствует вектор СН(2; 6).

Уравнение СН: (х – 2)/2 = (у + 6)/6.

5) Уравнение прямой АК || ВС.

Направляющим вектором этой прямой будет вектор ВС(8; -8).

Уравнение АК: (х – 4)/8 = (у – 8)/(-8).

6) центр тяжести.

Его координаты (точка О) равны среднеарифметическому координат вершин треугольника как точке пересечения медиан.

О = ((4 - 2+ 6)/3); (8 + 10 + 2)/3) = ((8/3); (20/3)).

7) расстояние от центра тяжести до стороны АВ.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C|/√(A2 + B2)

Подставим в формулу данные:

d = |1·(8/3) + 3·(20/3) + (-28)|/√(12 + 32) = |8/3 + 20 - 28|/√(1 + 9) =

= (16/3)/√10 = 8√10/15 ≈ 1.6865.

8) В системе координат построить треугольник и все найденные элементы.

9) найти периметр треугольника – дан в пункте 1: Р = 23,9628.

10) найти площадь треугольника.

По формуле Герона S = √(11,9814 *5,65685*0,6677*5,65685) = 16.

Answer 2

Уравнение сторон треугольника

Для нахождения уравнений сторон треугольника, воспользуемся формулой для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1, y1) и B(x2, y2), можно записать в виде:

(y - y1) = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Таким образом, уравнение стороны AB можно записать как:

(y - 8) = ((10 - 8) / (-2 - 4)) * (x - 4)

или

y = (-1/3)x + (20/3)

Уравнение стороны BC можно записать как:

(y - 10) = ((2 - 10) / (6 - (-2))) * (x - (-2))

или

y = (-4/3)x + (38/3)

Уравнение стороны AC можно записать как:

(y - 8) = ((2 - 8) / (6 - 4)) * (x - 4)

или

y = 3x - 4

Угол А

Для нахождения угла А воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя прямыми.

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами m1 и m2 можно найти следующим образом:

tan(θ) = |(m2 - m1) / (1 + m1 * m2)|

где θ - искомый угол, m1 и m2 - угловые коэффициенты прямых.

Угол А между сторонами AB и AC можно найти, используя уравнения сторон треугольника. Угловые коэффициенты этих прямых равны -1/3 и 3 соответственно. Подставим значения в формулу и вычислим угол:

tan(θ) = |((-1/3) - 3) / (1 + (-1/3) * 3)| = |-10/9|

Угол θ можно найти, используя обратную тангенс функцию:

θ = atan(10/9) ≈ 47.8°

Уравнение медианы BM

Медиана BM треугольника ABC является прямой, проходящей через точку B и середину стороны AC.

Чтобы найти середину стороны AC, найдем среднее значение координат x и y для точек A и C:

x = (4 + 6) / 2 = 5 y = (8 + 2) / 2 = 5

Таким образом, середина стороны AC имеет координаты (5, 5).

Уравнение прямой, проходящей через точку B(-2, 10) и середину стороны AC(5, 5), можно записать в виде:

(y - 10) = ((5 - 10) / (5 - (-2))) * (x - (-2))

или

y = (-5/7)x + (100/7)

Уравнение высоты СН

Высота СН треугольника ABC является прямой, проходящей через точку С и перпендикулярной стороне AB.

Чтобы найти уравнение высоты СН, найдем уравнение прямой, перпендикулярной стороне AB и проходящей через точку С(6, 2).

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной стороне AB, равен -1/(-1/3) = 3.

Уравнение прямой, проходящей через точку С(6, 2) и с угловым коэффициентом 3, можно записать в виде:

(y - 2) = 3 * (x - 6)

или

y = 3x - 16

Уравнение прямой АК || ВС

Прямые АК и ВС параллельны, поэтому их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент прямой АК можно найти, используя уравнение стороны AK. Угловой коэффициент этой стороны равен 3.

Уравнение прямой, проходящей через точку A(4, 8) и с угловым коэффициентом 3, можно записать в виде:

(y - 8) = 3 * (x - 4)

или

y = 3x - 4

Уравнение прямой ВС можно записать также, так как они параллельны.

Центр тяжести

Центр тяжести треугольника ABC - это точка пересечения медиан треугольника. Для нахождения координат центра тяжести, найдем среднее значение координат x и y для точек A, B и C:

x = (4 + (-2) + 6) / 3 = 2 y = (8 + 10 + 2) / 3 = 6.6667

Таким образом, центр тяжести треугольника ABC имеет координаты (2, 6.6667).

Расстояние от центра тяжести до стороны AB

Расстояние от центра тяжести до стороны AB можно найти, используя формулу для расстояния между точкой и прямой.

Формула для расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:

d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Уравнение прямой AB: y = (-1/3)x + (20/3)

Преобразуем уравнение в общий вид Ax + By + C = 0:

1/3x + y - 20/3 = 0

Сравнивая коэффициенты, получаем A = 1/3, B = 1 и C = -20/3.

Подставляя значения в формулу, получаем:

d = |(1/3 * 2) + (1 * 6.6667) - (20/3)| / sqrt((1/3)^2 + 1^2) ≈ 3.81

Построение треугольника и найденных элементов в системе координат

Для построения треугольника и найденных элементов в системе координат, используем координаты вершин треугольника:

A(4, 8), B(-2, 10), C(6, 2)

Также построим уравнения сторон треугольника, медианы BM, высоты СН и прямой АК || ВС.

Нахождение периметра треугольника

Периметр треугольника можно найти, используя расстояние между вершинами треугольника.

AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((-2 - 4)^2 + (10 - 8)^2) ≈ 6.3246 BC = sqrt