Question

Упростить: (cos φ)/((cos φ/2)+(sin φ/2))

Answer 1

Ответ:   (cos φ)/((cos φ/2)+(sin φ/2)) =  cos φ/2 - sin φ/2

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \frac{\cos \varphi }{\cos \tfrac{\varphi}{2} +\sin \frac{\varphi }{2} }$

Воспользуемся формулой

$\cos 2a = \sin ^2a -\cos ^2a$

В нашем случае

$\displaystyle \frac{\cos \varphi }{\cos \tfrac{\varphi}{2} +\sin \frac{\varphi }{2} } =\frac{\cos ^2\frac{\varphi }{2} -\sin ^2 \frac{\varphi }{2} }{\cos \tfrac{\varphi}{2} +\sin \frac{\varphi }{2}} = \frac{(\cos \tfrac{\varphi}{2} +\sin \frac{\varphi }{2})( \cos \tfrac{\varphi}{2} -\sin \frac{\varphi }{2 } )}{\cos \tfrac{\varphi}{2} +\sin \frac{\varphi }{2}} = \\\\\\ \boxed{\cos \tfrac{\varphi}{2} -\sin \tfrac{\varphi }{2}}$

Answer 2

Для упрощения выражения (cos φ)/((cos φ/2) + (sin φ/2)) можно использовать формулы тригонометрии, чтобы преобразовать исходное выражение в более простую форму.

Применение формулы половинного угла

Мы можем использовать формулу половинного угла для тригонометрических функций, чтобы преобразовать исходное выражение. Формула половинного угла для косинуса выглядит следующим образом:

cos(φ/2) = ±√((1 + cos φ) / 2)

Аналогично, формула половинного угла для синуса выглядит следующим образом:

sin(φ/2) = ±√((1 - cos φ) / 2)

Применение формулы половинного угла к исходному выражению

Для применения формулы половинного угла к исходному выражению (cos φ)/((cos φ/2) + (sin φ/2)), мы должны заменить cos(φ/2) и sin(φ/2) с использованием соответствующих формул:

(cos φ)/((cos φ/2) + (sin φ/2)) = (cos φ) / ((±√((1 + cos φ) / 2)) + (±√((1 - cos φ) / 2)))

Заметим, что знаки ± возникают из-за того, что мы не знаем, в какой четверти находится угол φ. Знаки будут зависеть от значения φ.

Упрощение выражения

Далее мы можем применить алгебраические методы для упрощения данного выражения. Например, мы можем умножить числитель и знаменатель на общий множитель ((±√((1 + cos φ) / 2)) - (±√((1 - cos φ) / 2))), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

(cos φ) / ((±√((1 + cos φ) / 2)) + (±√((1 - cos φ) / 2))) = (cos φ) * ((±√((1 + cos φ) / 2)) - (±√((1 - cos φ) / 2))) / ((±√((1 + cos φ) / 2)) - (±√((1 - cos φ) / 2)))

После этой операции выражение упрощается и становится:

(cos φ) * ((±√((1 + cos φ) / 2)) - (±√((1 - cos φ) / 2))) / ((±√((1 + cos φ) / 2)) - (±√((1 - cos φ) / 2)))

Это более упрощенное выражение для исходного выражения (cos φ)/((cos φ/2) + (sin φ/2)) с использованием формулы половинного угла и алгебраических методов. Здесь знаки ± зависят от значения φ.