Question

Упростить: 4cos(α/4)*cos((2π+α)/4)*cos((2π+α)/2) Ответ: sinα, мне нужно решение

Answer 1

4cos(α/4)*cos((2π+α)/4)*cos((2π+α)/2) = 4cos(α/4)*cos(α/4+π/2)*cos(α/2+π) =

= 4cos(α/4)*(-sin(α/4))*(-cos(α/2)) = 4cos(α/4)*sin(α/4)*cos(α/2) =

= 2*[2*cos(α/4)*sin(α/4)]*cos(α/2) = 2*[sin(α/2)]*cos(α/2) = 2*sin(α/2)*cos(α/2) =  sin(α)

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами тригонометрии.

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1. Применим её к третьему множителю выражения: cos((2π+α)/2) = 2cos²((2π+α)/4) - 1.

2. Заметим, что угол α/4 встречается в каждом множителе. Вынесем его за скобки: 4cos(α/4)cos((2π+α)/4)[2cos²((2π+α)/4) - 1].

3. Раскроем скобки: 4cos(α/4)*cos((2π+α)/4)*2cos²((2π+α)/4) - 4cos(α/4)*cos((2π+α)/4).

4. Сократим общий множитель cos(α/4)*cos((2π+α)/4): 4 * 2cos²((2π+α)/4) - 4 = 8cos²((2π+α)/4) - 4.

5. Воспользуемся формулой половинного угла для косинуса: cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ))/2]. Применим её к выражению: 8cos²((2π+α)/4) - 4 = 8 * (cos((2π+α)/2)/2 + 1)/2 - 4 = 4cos((2π+α)/2) + 4 - 4 = 4cos((2π+α)/2).

Таким образом, выражение упрощается до 4cos((2π+α)/2).

Заметим, что cos((2π+α)/2) равен sin(α) в силу тригонометрической формулы sin(θ) = cos(π/2 - θ).

Таким образом, упрощенный ответ равен sin(α).