Question

Найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба y=3x^2-x^2 и y=-9x+x^3​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) y=3x^2-x^3

y'=6x-3x^2

y''=6-6x;

6-6x=0 при  x=1 - точка перегиба. При  x<1 y''>0, т. е.  на интервале (-inf;1)  функция вогнута, x>1 y''<0, т. е.  на интервале (1;+inf) функция выпукла.

2) y=-9+x^3;

y'=3x^2;

y''=6x;

6x=0 при x=0 - точка перегиба. При x>0 y''>0, т. е.  на интервале (0;+inf) функция вогнута, x<0 y''<0, т. е.  на интервале (-inf;0) функция выпукла.

inf - бесконечность

Answer 2

Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости, а также точек перегиба, нужно рассмотреть графики функций y = 3x^2 - x^2 и y = -9x + x^3 и проанализировать их вторую производную.

Анализ первой функции y = 3x^2 - x^2:

1. Найдем первую производную функции: y' = 6x - 2x = 4x. 2. Найдем вторую производную функции: y'' = 4. 3. Поскольку вторая производная является положительной константой (y'' = 4 > 0), то график функции y = 3x^2 - x^2 является выпуклым вниз на всей области определения. Это означает, что у этой функции отсутствуют точки перегиба и промежутки вогнутости.

Анализ второй функции y = -9x + x^3:

1. Найдем первую производную функции: y' = -9 + 3x^2. 2. Найдем вторую производную функции: y'' = 6x. 3. Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: 6x = 0. Отсюда получаем x = 0. 4. Для определения типа точки перегиба (выпуклость или вогнутость) проанализируем знак второй производной перед и после x = 0: - При x < 0, y'' < 0, следовательно, график функции y = -9x + x^3 является вогнутым вверх. - При x > 0, y'' > 0, следовательно, график функции y = -9x + x^3 является выпуклым вниз. - Таким образом, точка перегиба (0, 0) является точкой смены выпуклости.

В итоге, для функции y = 3x^2 - x^2 нет точек перегиба и промежутков вогнутости, так как она является выпуклой вниз на всей области определения. А функция y = -9x + x^3 имеет точку перегиба (0, 0) и меняет выпуклость в этой точке. График данной функции вогнутый вверх при x < 0 и выпуклый вниз при x > 0.