Question

1+cos2x+cos4x=0 прошу помогите

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Чтобы решить уравнение 1 + cos(2x) + cos(4x) = 0, мы должны найти значения x, при которых это уравнение выполняется. Давайте разберемся, как это сделать.

1. Используйте тригонометрические тождества: Мы можем использовать тригонометрические тождества для переписывания выражений cos(2x) и cos(4x) в более простой форме. Одно из таких тождеств гласит:

cos(2θ) = 1 - 2sin²(θ)

Используя это тождество, мы можем переписать cos(2x) следующим образом:

cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

Аналогично, для cos(4x) мы можем использовать тождество:

cos(4θ) = 1 - 2cos²(2θ)

И получим:

cos(4x) = 1 - 2cos²(2x)

2. Подставьте новые выражения в уравнение: Теперь мы можем заменить cos(2x) и cos(4x) в исходном уравнении:

1 + (1 - 2sin²(x)) + (1 - 2cos²(2x)) = 0

Упростим это уравнение:

3 - 2sin²(x) - 2cos²(2x) = 0

3. Используйте тригонометрические тождества еще раз: Мы можем продолжить упрощение, используя другие тригонометрические тождества. В частности, нам понадобится тождество:

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

Это тождество позволяет нам переписать выражение в следующем виде:

-2sin²(x) - 2cos²(2x) = -3

Теперь мы можем заменить -2sin²(x) в выражении -2cos²(2x) с помощью тождества sin²(θ) = 1 - cos²(θ):

-2(1 - cos²(x)) - 2cos²(2x) = -3

4. Раскройте скобки и упростите уравнение: Раскрывая скобки, у нас получится:

-2 + 2cos²(x) - 2cos²(2x) = -3

Теперь обратите внимание, что у вас есть и cos(x), и cos(2x) в уравнении. Чтобы решить это, можно использовать тригонометрические идентичности для связи между ними.

5. Примените тригонометрические идентичности: Одна из таких идентичностей гласит:

cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1

Это означает, что мы можем переписать cos²(θ) в виде (1 + cos(2θ))/2. Применим это к нашему уравнению:

-2 + 2(1 + cos(4x))/2 - 2cos²(2x) = -3

Упростим это уравнение:

-2 + 1 + cos(4x) - 2cos²(2x) = -3

6. Упростите еще раз и перенесите все в одну сторону: Соберем все члены в одну сторону и упростим:

cos(4x) - 2cos²(2x) = -4

7. Используйте тригонометрические тождества вновь: Мы можем продолжить упрощение, используя тригонометрические тождества. В частности, нам понадобится тождество:

cos(2θ) = 1 - 2sin²(θ)

Применим это к cos²(2x):

cos²(2x) = (1 - cos(4x))/2

Теперь мы можем заменить cos²(2x) в исходном уравнении:

cos(4x) - 2(1 - cos(4x))/2 = -4

8. Упростите и решите уравнение: Упростим это уравнение:

cos(4x) - (1 - cos(4x)) = -4

2cos(4x) - 1 = -4

2cos(4x) = -3

cos(4x) = -3/2

Теперь мы можем найти значения x, при которых cos(4x) равен -3/2. Обратите внимание, что обычная функция косинуса имеет диапазон значений от -1 до 1, поэтому уравнение cos(4x) = -3/2 не имеет решений в действительных числах.

В итоге, уравнение 1 + cos(2x) + cos(4x) = 0 не имеет решений в действительных числах.