Question

Вычислить n-ю степень некоторого комплексного числа z=-2-3i где n=2​

Answer 1

Дано комплексное число z = -2-3i. Требуется возвести его во вторую степень.

Для этого можно воспользоваться формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$ При этом нужно учитывать, что $i^2 = -1$.

Вычислим вторую степень числа z:

$z^2 = (-2-3i)^2 = (-2)^2 - 2\cdot (-2)\cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9\cdot i^2 = 4+12i + 9 \cdot (-1) = 4 + 12i - 9 = -5+12i.$

Ответ:

z² = -5 + 12i.

Answer 2

Для вычисления n-й степени комплексного числа z=-2-3i, где n=2, мы можем воспользоваться формулой для возведения комплексного числа в степень:

z^n = (r^n) * (cos(n*θ) + i * sin(n*θ))

где z = a + bi, r = √(a^2 + b^2) - модуль комплексного числа, и θ = arctan(b/a) - аргумент комплексного числа.

Давайте вычислим модуль и аргумент для комплексного числа z=-2-3i.

Модуль комплексного числа z: r = √((-2)^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13

Аргумент комплексного числа z: θ = arctan((-3)/(-2)) = arctan(3/2) ≈ 56.31°

Теперь, зная модуль и аргумент комплексного числа, мы можем вычислить его возведение во 2-ю степень:

z^2 = (r^2) * (cos(2*θ) + i * sin(2*θ))

где r^2 = 13, 2*θ = 2*56.31° = 112.62°

Теперь вычислим cos(112.62°) и sin(112.62°):

cos(112.62°) ≈ -0.485 sin(112.62°) ≈ 0.874

Теперь мы можем выразить z^2:

z^2 ≈ 13 * (-0.485 + i * 0.874) ≈ -6.305 + i * 11.362

Таким образом, n-я степень комплексного числа z=-2-3i, где n=2, равна -6.305 + i * 11.362.