Question

Знайдіть критичні точки функції y = 6x⁴ − 12x² − 11

Answer 1

Дане завдання розраховане на вміння знаходити похідну і її критичні точки.Удачі в навчанні.

Answer 2

Щоб знайти критичні точки функції $y = 6x^4 - 12x^2 - 11$, спочатку знайдемо похідну функції і прирівняємо її до нуля:

$y' = 24x^3 - 24x = 0.$

Далі факторизуємо це рівняння:

$24x(x^2 - 1) = 0.$

Звідси отримуємо два корені: $x = 0$ та $x = \pm 1$. Ці значення $x$ відповідають можливим критичним точкам.

Щоб з'ясувати, чи є ці точки максимумами чи мінімумами, можемо застосувати другу похідну тест. Візьмемо похідну другого порядку функції $y$:

$y'' = 72x^2 - 24.$

Підставимо кожну критичну точку $x$ у другу похідну:

Для $x = 0$: $y''(0) = 72(0)^2 - 24 = -24.$

Для $x = 1$: $y''(1) = 72(1)^2 - 24 = 48.$

Для $x = -1$: $y''(-1) = 72(-1)^2 - 24 = 48.$

Результати другої похідної показують, що $x = 0$ має точку перегину, а $x = 1$ і $x = -1$ мають мінімальні точки.

Таким чином, функція $y = 6x^4 - 12x^2 - 11$ має дві критичні точки: $(0, -11)$ є точкою перегину, а $(1, -17)$ і $(-1, -17)$ є мінімальними точками.