Question

Задача 1. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Точки К, L, М, N середине сторон АО, ВО, СО, DО соответственно. Сторона АВ = 24 см. Найти периметр КLМN. Задача 2. В равнобедренной трапеции CDEF диагонали точкой пересечения делятся в отношении 3:6. Меньшее основание равно высоте и равно 6 см. Найти боковые стороны трапеции.

Answer 1

Ответ:

1. Периметр КLМN равен 48 см.

2. Боковые стороны трапеции равны 3√5 см.

Пошаговое объяснение:

Требуется найти:

1. периметр КLМN;

2. боковые стороны трапеции.

1.

Дано: АВСD - ромб;

К, L, М, N - середины сторон АО, ВО, СО, DО соответственно.

АВ = 24 см.

Найти: периметр КLМN.

Решение:

• Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника.

1. Рассмотрим ΔАВО.

АК = КО; BL = LO (условие)

⇒ КL - средняя линия ΔАВО.

• Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.

⇒ КL = АВ : 2 = 24 : 2 = 12 (см)

2. Аналогично

LM, MN, KN - средние линии ΔOBC, ΔDOC, ΔAOD соответственно.

• Стороны ромба равны.

⇒ LM = MN = KN = 12 (см)

3. Найдем периметр  КLМN.

• Периметр ромба - сумма длин всех его сторон.

Р(КLМN) = КL + LM + MN + KN

Так как все стороны равны, то

Р(КLМN)  = 12 · 4 = 48 (см)

Периметр КLМN равен 48 см.

2.

Дано: CDEF - равнобедренная трапеция.

ЕО : ОС = 3 : 6

DE = 6 см;

ЕН = 6 см - высота.

Найти: CD и EF.

Решение:

1. Рассмотрим ΔDEO и ΔCOF

• Вертикальные угла равны.

⇒ ∠DOE = ∠COF (вертикальные)

∠EDO = ∠OFC  (накрест лежащие при DE || CF и секущей DF)

⇒ ΔDEO ~ ΔCOF (по двум углам)

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{6}{CF}=\frac{3}{6}\\\\CF=\frac{6\cdot6}{3}=12\;_{(CM)}$

2. Рассмотрим ΔНЕF - прямоугольный.

• В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований.

⇒ HF = (CF - DE) : 2 = (12 - 6) : 2 = 3 (см)

FH = 6 см.

По теореме Пифагора:

EF² = EH² + HF²

EF² = 36 + 9 = 45

EF = 3√5 см

Трапеция равнобедренная

⇒ CD = EF = 3√5 (см)

Боковые стороны трапеции равны 3√5 см.

Answer 2

Задача 1.

Для начала найдем длину диагоналей ромба. Так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, то диагонали равны друг другу. Поэтому диагонали ромба равны 24 см.

Теперь найдем длины сторон ромба. Так как точки К, L, M, N - середины сторон АО, ВО, СО, DО соответственно, то стороны ромба равны 48 см.

Поскольку стороны ромба равны, то периметр КLМN равен 4 * 48 = 192 см.

Ответ: периметр КLМN равен 192 см.

Задача 2.

Пусть AC и BD - диагонали трапеции CDEF. Так как диагонали делятся в отношении 3:6, то AC:BD = 3:6. Пусть AC = 3x, BD = 6x.

Так как меньшее основание равно высоте и равно 6 см, то DE = 6 см.

Теперь найдем боковые стороны трапеции. Используем теорему Пифагора для треугольника ABD: (3x)^2 + (6x)^2 = (6+6)^2, откуда 9x^2 + 36x^2 = 144, x^2 = 8, x = √8.

Таким образом, AC = 3 * √8 см, BD = 6 * √8 см.

Ответ: боковые стороны трапеции равны 3 * √8 см и 6 * √8 см.