Question

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функций 1) у=х²+7, у=8 2)у=х²+6х+10, у=6+х(помогите пожалуйста, с решением )​

Answer 1

х²+7=8⇒х=±1- пределы интегрирования, найдем интеграл от 8-(х²+7), получим х-х³/3, применим формулу Ньютона - Лейбница, т.е.

(1-1³/3)-( -1-(-1)³/3)=2/3-1/3+1=1 1/3

2) х²+6х+10=6+х; х²+5х+4=0, по Виету х=-1; х=-4

Значит, найдем определенный интеграл от -4 до -1

интеграл от разности функций (6х+х-х²-6х-10 =-х²-5х-4)  равен

-(х³/3+5х²/2+4х), подставим пределы интегрирования и от верхнего значения отнимем нижнее. получим

(-(-1/3+5/2-4)-(-(-64/3+40-16)=(1/3)-2.5+4-(64/3)+40-16=44-23.5=4.5

Answer 2

1) Для первой функции y=x²+7 и y=8 найдем точки пересечения графиков, приравняв уравнения: x²+7=8 x²=1 x=±1 Таким образом, точки пересечения графиков находятся при x=1 и x=-1.

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими графиками. Это будет площадь между кривыми y=x²+7 и y=8 на интервале [-1, 1]. Для этого нужно посчитать интеграл разности этих функций на данном интервале: S=∫[a,b] (f(x)-g(x)) dx, где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

S=∫[-1,1] (8-(x²+7)) dx S=∫[-1,1] (1-x²) dx S= [x-x³/3] [-1,1] S= (1-1/3) - (-1+1/3) S= 2/3 + 2/3 S= 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x²+7 и y=8 на интервале [-1,1] равна 4/3.

2) Для второй функции y=x²+6x+10 и y=6+x найдем точки пересечения графиков, приравняв уравнения: x²+6x+10=6+x x²+5x+4=0 (x+4)(x+1)=0 x=-4 или x=-1 Таким образом, точки пересечения графиков находятся при x=-4 и x=-1.

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими графиками. Это будет площадь между кривыми y=x²+6x+10 и y=6+x на интервале [-4, -1]. Для этого нужно посчитать интеграл разности этих функций на данном интервале: S=∫[a,b] (f(x)-g(x)) dx, где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

S=∫[-4,-1] ((x²+6x+10)-(6+x)) dx S=∫[-4,-1] (x²+5x+4) dx S= [x³/3 + 5x²/2 + 4x] [-4,-1] S= ((-64/3 + 40/2 - 16) - (-1/3 - 5/2 - 4)) S= (-64/3 + 20 - 16 + 1/3 + 5/2 + 4) S= -64/3 + 4 - 16 + 1/3 + 5/2 + 4 S= -64/3 + 12 - 16 + 1/3 + 5/2 S= -64/3 - 16 + 12 + 1/3 + 5/2 S= -64/3 - 48/3 + 36/3 + 1/3 + 15/6 S= -76/3 + 37/6 S= -152/6 + 37/6 S= -115/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x²+6x+10 и y=6+x на интервале [-4,-1] равна -115/6.