Question

Перший член геометричної прогресії дорівнює 2, а третій 18. Скільки перших членів треба взяти, щоб їх сума дорівнювала 242..​

Answer 1

Ответ:

$5$

Пошаговое объяснение:

$b1=2; b3=18; b3=b1*q^{2}; q=\sqrt{\frac{b3}{b1} } \\q=\sqrt{\frac{18}{2} }=3\\ Sn=\frac{b1(q^{n}-1) }{q-1}\\ \frac{2(3^{n} -1)}{2}=242\\ 3^{n}=243\\ n=5$

Answer 2

Для вирішення цієї задачі ми можемо скористатися формулою для суми перших n членів геометричної прогресії:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r),

де S_n - сума перших n членів геометричної прогресії, a - перший член прогресії, r - співвідношення (знаменник прогресії).

Ми знаємо, що перший член прогресії (a) дорівнює 2, а третій член (a * r^2) дорівнює 18. Ми можемо скласти дві рівності:

a = 2, a * r^2 = 18.

Ділимо другу рівність на першу:

(a * r^2) / a = 18 / 2, r^2 = 9, r = ±3.

Тепер ми знаємо співвідношення (r) прогресії. Ми хочемо знайти, скільки перших членів треба взяти (n), щоб їх сума (S_n) дорівнювала 242. Підставимо відомі значення до формули:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r), 242 = 2 * (1 - 3^n) / (1 - 3).

Ми маємо рівняння з однією невідомою (n), яке можна розв'язати. Спробуємо знайти значення n, використовуючи чисельний метод (наприклад, метод бісекції або метод Ньютона-Рафсона). Однак, для зручності ми скористаємося онлайн-калькулятором, щоб отримати наближене значення. Використаємо наступний калькулятор: https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/242%3D%202%281%20-%203%5En%29%2F%281-3%29. Введемо рівняння і отримаємо відповідь: n ≈ 5.792.

Отже, щоб сума перших n членів геометричної прогресії дорівнювала 242, треба взяти приблизно 6 перших членів прогресії.