Question

Вычислить определенный интеграл: S от 5 до 1 x^4dx/7 + S от 6 до 5 x^4dx/7 2. S от 1 до -2 (-3x^2-4x+2)dx

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \displaystyle \int\limits_5^1\frac{x^4\, dx}{7}+\int\limits_6^5\frac{5x^4\, dx}{7}=\frac{1}{7}\int\limits_5^1\, x^4\, dx+\dfrac{1}{7}\int\limits_6^5\, x^4\, dx=\\\\\\=\frac{1}{7}\cdot \frac{x^5}{5}\, \Big|_5^1+\frac{1}{7}\cdot \frac{x^5}{5}\, \Big|_6^5=\frac{1}{35}\cdot (1^5-5^5)+\frac{1}{35}\cdot (5^5-6^5)=-\frac{3124}{35}-\frac{4651}{35}=\\\\\\=-\frac{7775}{35}=-222\frac{1}{7}$

$\displaystyle 2)\ \ \int\limits_1^{-2}\, (-3x^2-4x+2)\, dx=(-x^3-2x^2+2x)\Big|_1^{-2}=\\\\\\=(8-8-4)-(-1-2+2)=-4+1=-3$

P.S. Если интеграл берётся в пределах от 1 до (-2) , то имеется ввиду, что нижний предел интегрирования равен 1, а верхний - (-2) . Но обычно нижний предел меньше верхнего. Поэтому , я думаю, что пределы были расставлены наоборот, от (-2) до 1 . Тогда у вас интеграл будет равен не (-3), а противоположному числу 3 .

$\displaystyle \int\limits_{-2}^{1}\, (-3x^2-4x+2)\, dx=(-x^3-2x^2+2x)\Big|_{-2}^1=\\\\\\=(-1-2+2)-(8-8-4)=-1+4=3$

Аналогично в 1 примере .

Answer 2

1. Для вычисления определенного интеграла необходимо сначала найти первообразную функцию, затем подставить пределы интегрирования и вычислить разность значений первообразной функции в этих точках.

1.1 Найдем первообразную функцию от x^4dx/7: Интегрируем x^4 по отдельности: ∫x^4dx = (1/5)x^5 + C, где С - произвольная постоянная Тогда ∫x^4dx/7 = (1/5*7)x^5 + C = (1/35)x^5 + C

1.2 Теперь вычислим определенный интеграл S от 5 до 1 (1/35)x^5dx: S от 5 до 1 (1/35)x^5dx = (1/35) * [(1/5*5^5) - (1/5*1^5)] = (1/35) * [(3125/5) - (1/5)] = (1/35) * (625 - 1) = 624/35

1.3 Также вычислим определенный интеграл S от 6 до 5 (1/35)x^5dx: S от 6 до 5 (1/35)x^5dx = (1/35) * [(1/5*5^5) - (1/5*6^5)] = (1/35) * [(3125/5) - (7776/5)] = (1/35) * (-4651) = -4651/35

1.4 Итак, значения определенных интегралов: S от 5 до 1 (1/35)x^5dx = 624/35 S от 6 до 5 (1/35)x^5dx = -4651/35

2. Теперь вычислим определенный интеграл S от 1 до -2 (-3x^2-4x+2)dx: Интегрируем каждый член по отдельности: ∫-3x^2dx = (-3/3)x^3 + C1 = -x^3 + C1 ∫-4xdx = (-4/2)x^2 + C2 = -2x^2 + C2 ∫2dx = 2x + C3 Тогда ∫(-3x^2-4x+2)dx = -x^3 - 2x^2 + 2x + C Теперь подставим пределы интегрирования и вычислим разность значений: S от 1 до -2 (-3x^2-4x+2)dx = [-(1)^3 - 2(1)^2 + 2(1)] - [-(2)^3 - 2(2)^2 + 2(2)] = [-1 - 2 + 2] - [-8 - 8 + 4] = -1 - 14 = -15

Итак, значение определенного интеграла: S от 1 до -2 (-3x^2-4x+2)dx = -15