Question

Z=x³-y³ при x-y=1 Найти условный экстремум функции

Answer 1

Ответ: zmin=0,25 при условии x-y=1.

Пошаговое объяснение:

Из уравнения связи находим x=y+1. Подставляя это выражение в выражение для z, получаем z=(y+1)³-y³=3*y²+3*y+1. Находим производную: dz/dy=6*y+3. Приравнивая её к 0, находим единственную критическую точку y=-0,5. Так как при при переходе через эту точку производная меняет знак с - на +, то эта точка действительно является точкой экстремума, и притом - минимума. Из уравнения связи находим x=1-0,5=0,5. Таким образом, найдена точка М (0,5;-0,5) условного минимума функции z. Теперь вычисляем сам условный минимум: zmin=z(0,5;-0,5)=(0,5)³-(-0,5)³=0,25.

Answer 2

Z(x, y) = x³ - y³ при x - y = 1

Для нахождения условного экстремума функции Z(x, y) при условии x - y = 1 воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Сначала найдем частные производные функции Z(x, y): ∂Z/∂x = 3x² ∂Z/∂y = -3y²

Теперь составим уравнение Лагранжа, учитывая условие x - y = 1: L(x, y, λ) = x³ - y³ + λ(x - y - 1)

Найдем частные производные L(x, y, λ) по x, y и λ: ∂L/∂x = 3x² + λ ∂L/∂y = -3y² - λ ∂L/∂λ = x - y - 1

Теперь приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений: 3x² + λ = 0 -3y² - λ = 0 x - y - 1 = 0

Из уравнения x - y = 1 следует, что x = y + 1. Подставим это выражение в первые два уравнения: 3(y + 1)² + λ = 0 -3y² - λ = 0

Решим систему уравнений и найдем значения y и λ. Подставим полученные значения y и λ в уравнение x = y + 1 и найдем соответствующие значения x.

После нахождения точек экстремума, подставим их в исходную функцию Z(x, y) = x³ - y³ и найдем соответствующие значения функции Z.

Таким образом, после нахождения точек экстремума и значений функции Z в этих точках можно сделать вывод о наличии условного экстремума и его типе (минимум или максимум).