Question

5. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник делит гипотенузу на отрезки, равные 5 cm и 12 cm. Найдите катеты этого треугольника.

Answer 1

а) РО = ОТ = РА = АТ , Получается квадрат АРОТ у котого все стороны равны;

б) РВ = ВК = 12 см

с) КС = ТС = 5 см

Пусть АР = АТ = х см, тогда АВ = 12 + х, АС = х + 5, ВС = 12 + 5 = 17 см

Используем теорему Пифагора:

ВС² = АВ² + АС²

17² = (12 + х)² + (х + 5)²

289 = 144 + 24х + х² + х² + 10х + 25

2х² + 34х - 120 = 0 скоротим на 2

х² + 17х - 60 = 0

ищим дискриминантом

Д = 289 + 240 = 529 = 23²

х1 = 3

х2 = -20 - не удовлетворяет.

АВ = 12 + 3 =15см

АС = 3 + 5 = 8см

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства прямоугольного треугольника и окружности, вписанной в него.

Определение

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, BC и AC - катеты. Пусть O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Точка касания окружности с гипотенузой обозначается как D.

Свойства окружности, вписанной в треугольник

1. Луч AO является биссектрисой угла BAC, а луч BO является биссектрисой угла ABC. 2. Сегмент AD равен сегменту BD. 3. Точка касания D является средней точкой гипотенузы AB.

Решение задачи

Из условия задачи известно, что точка касания окружности с гипотенузой делит её на отрезки, равные 5 см и 12 см. Обозначим катеты треугольника как x и y.

Используя свойство окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, мы можем сказать, что сегмент AD равен сегменту BD. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

5 + x = 12 + y

Также, из свойства окружности, вписанной в треугольник, мы знаем, что точка касания является средней точкой гипотенузы. Это означает, что отрезок AD равен отрезку DB, то есть x = y.

Теперь мы можем решить систему уравнений:

5 + x = 12 + x

Разрешая это уравнение, мы получаем:

5 = 12

Это противоречие, поскольку уравнение не имеет решений. Таким образом, данное условие задачи невозможно выполнить.

Вывод

Из условия задачи следует, что точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, не может делить гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.