Question

Существует ли такое целое число, которое при зачеркивании первой цифры уменьшается в 2022 раза? (Примечание: в условии подразумевается, что после зачеркивания незначащие нули в начале получаемого числа отбрасываются, например, число 100123 превращается в 123

Answer 1

Ответ: ${}$ не существует.

Пошаговое объяснение: ${}$ пусть после зачеркивания первой цифры получается число А. По условию

                                 $2022A=A+n\cdot 10^k,$

где n - зачеркнутая первая цифра. Отсюда

                                  $2021A=n\cdot 10^k.$

При этом 2021 раскладывается на простые множители

                                  2021=43·47,

которых нет в разложении правой части на простые множители - ведь n - это цифра, то есть   ее возможные простые делители - это 2, 3, 5 и 7, а десять раскладывается на 2 и 5.

Answer 2

Да, существует такое целое число. Чтобы найти его, нужно рассмотреть условие задачи. Мы ищем число, которое уменьшается в 2022 раза после зачеркивания первой цифры и отбрасывания незначащих нулей в начале получаемого числа.

Давайте предположим, что искомое число состоит из n цифр. После зачеркивания первой цифры и отбрасывания незначащих нулей, полученное число будет состоять из n-1 цифры. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

10^(n-1) / 2022 = x

Где x - искомое число. Давайте решим это уравнение:

10^(n-1) / 2022 = x

Перемножим обе стороны уравнения на 2022:

10^(n-1) = 2022 * x

Теперь возьмем логарифм по основанию 10 от обеих сторон:

log(10^(n-1)) = log(2022 * x)

По свойству логарифма, логарифм степени равен произведению логарифма и показателя степени:

(n-1) * log(10) = log(2022) + log(x)

Так как log(10) = 1, упростим уравнение:

n - 1 = log(2022) + log(x)

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

n = 1 + log(2022) + log(x)

Мы знаем, что n - целое число, поэтому правая часть уравнения должна быть целым числом. Заметим, что log(2022) - это примерно 3.306, поэтому log(x) должно быть примерно равно 2022 - 3.306 = 2018.694.

Теперь, чтобы найти x, мы можем взять обратный логарифм от 2018.694 по основанию 10:

x = 10^(2018.694)

Однако, это очень большое число и его точное значение сложно представить. Тем не менее, мы можем утверждать, что такое число существует, и его можно вычислить.

Источник: [[1]](https://sch656.mskobr.ru/attach_files/upload_users_files/5ef9d43d819f5.pdf)