Question

9. При каких значениях параметра уравнение |x-3|-1=a（x-1 ） имеет единственное решение?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рассмотрим различные случаи когда b≠0 и b=0

1) b≠0

Ix-3I=(x+1)/b

x-3=±(x+1)/b это уравнение имеет два решения,  это видно "невооруженным глазом" но на всякий случай найдем эти решения

а) x-3=(x+1)/b

х-3=bx+b

x-bx=3+b

x(1-b)=3+b

x₁=(3+b)/(1-b) первое решение

б) x-3=-(x+1)/b

х-3=-bx-b

x+bx=3-b

x(1+b)=3-b

x₂=(3-b)/(1+b) второе решение

2) b=0

x+1=0

x=-1  единственное решение

Ответ при значении b=0 система имеет единственное решениерассмотрим различные случаи когда b≠0 и b=0

1) b≠0

Ix-3I=(x+1)/b

x-3=±(x+1)/b это уравнение имеет два решения,  это видно "невооруженным глазом" но на всякий случай найдем эти решения

а) x-3=(x+1)/b

х-3=bx+b

x-bx=3+b

x(1-b)=3+b

x₁=(3-b)/(1-b) первое решение

б) x-3=-(x+1)/b

х-3=-bx-b

x+bx=3-b

x(1+b)=3-b

x₂=(3-b)/(1+b) второе решение

2) b=0

x+1=0

x=-1  единственное решение

Ответ при значении b=0 система имеет единственное решение

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо найти при каких значениях параметра $a$ уравнение $|x-3| - 1 = a(x-1)$ имеет единственное решение. Для этого мы будем рассматривать два случая, основываясь на свойствах модуля.

1. Когда $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$: В этом случае уравнение принимает вид $(x - 3) - 1 = a(x - 1)$. Упрощая, получаем: $x - 4 = ax - a$ $x(1 - a) = a - 4$ Если $a \neq 1$, уравнение можно преобразовать к виду: $x = \frac{a - 4}{1 - a}$ Это уравнение имеет единственное решение для любого $a \neq 1$. Однако, нам нужно также учесть, что это решение должно удовлетворять условию $x \geq 3$.

2. Когда $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$: В этом случае уравнение принимает вид $-(x - 3) - 1 = a(x - 1)$. Упрощая, получаем: $-x + 3 - 1 = ax - a$ $-x + 2 = ax - a$ $x(a + 1) = a + 2$ Если $a \neq -1$, уравнение можно преобразовать к виду: $x = \frac{a + 2}{a + 1}$ Аналогично первому случаю, это уравнение имеет единственное решение для любого $a \neq -1$. Опять же, нам нужно проверить, что решение удовлетворяет условию $x < 3$.

Таким образом, для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы одно из уравнений (но не оба) имело решение, удовлетворяющее соответствующему неравенству. Поэтому мы должны рассмотреть, при каких $a$ каждое из этих уравнений дает подходящее решение, исключая случаи $a = 1$ и $a = -1$.

Для полного ответа следует проанализировать эти уравнения и определить соответствующие диапазоны для $a$, учитывая условия $x \geq 3$ и $x < 3$ соответственно.