Question

Решите уравнение cos^2 x=cosx

Answer 1

Решить уравнение cos^2 x=cos x.

Ответ:

x₁=2πn, n ∈ Z и х₂=π/2+πn, n ∈ Z.

Пошаговое объяснение:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos^2x=\cos x$

Вводим замену cos x = t, t ∈ [-1;1].

$\LARGE \boldsymbol {} t^2-t=0\\\\t(t-1)=0\\\\t=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:t-1=0\\\\t_1=0\in[-1;1]\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:t_2=1\in[-1;1]$

Возвращаемся к замене.

$\LARGE \boldsymbol {} \cos x = 1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \cos x =0$

Это частные случаи:

Если cos a = 1, то a = 2πn, n ∈ Z.

Если cos a = 0, то a = π/2+πn, n ∈ Z.

Соответственно, мы имеем два корня:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos x = 1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \cos x =0 \\\\x_1=2\pi n, n\in Z\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_2=\frac{\pi }{2} +\pi n, n\in Z$

Answer 2

Для решения уравнения cos^2(x) = cos(x), давайте приведем его к квадратному уравнению. Обозначим cos(x) за t:

cos^2(x) = cos(x) t^2 = t

Теперь у нас есть квадратное уравнение t^2 - t = 0. Перепишем его в виде:

t(t - 1) = 0

Это уравнение имеет два решения: t = 0 и t - 1 = 0. Решая каждое уравнение отдельно, получаем:

1. t = 0: cos(x) = 0 x = π/2 + πn, где n - целое число.

2. t - 1 = 0: cos(x) - 1 = 0 cos(x) = 1 x = 2πn, где n - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения cos^2(x) = cos(x) имеет вид:

x = π/2 + πn или x = 2πn, где n - целое число.