Question

Пятиугольник АВСДЕ вписан в окружность. Известно ,что АВ=АЕ. Отрезок ВЕ пересекает Ас в точке М, а отрезок4 АД в точке Т.1Докажите ,что точки СДМН лежат на одной окружности 2.Точка О - центр описанной вокруг треугольника СМД окружности. Найдите радиус этой окружности ,если АО равен 12,АВ=4

Answer 1

Ответ:

1. Точки С, D, М, T лежат на одной окружности.

2. Радиус окружности, описанной около треугольника СМD равен 8√2 ед.

Пошаговое объяснение:

Пятиугольник АВСДЕ вписан в окружность. Известно ,что АB = АЕ. Отрезок ВЕ пересекает АC в точке М, а отрезок АD в точке Т.

1. Докажите ,что точки СDМT лежат на одной окружности;

2. Точка О - центр описанной около треугольника СМD окружности. Найдите радиус этой окружности, если АО равен 12, АВ = 4.

Дано: АВСДЕ - пятиугольник;

Окр.I - описана около АВСДЕ;

АВ = АЕ;

ВЕ ∩ АЕ = М; ВЕ ∩ AD = T.

Окр.О - описана около ΔСМD.

AO = 12; AB = 4.

Доказать: что точки С, D, М, T лежат на одной окружности.

Найти: R - радиус Окр.О

1. Доказательство:

• Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.

Докажем, что в четырехугольнике СDTМ:

∠АСD + ∠MTD = 180°.

АВ = АЕ (условие)

• Равные хорды стягивают равные дуги.

⇒ ◡АВ = ◡АЕ

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

⇒

$\displaystyle \angle{ACD}=\frac{1}{2}( \smile AED)$

• Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами.

⇒

$\displaystyle \angle{BTD}=\frac{\smile BCD+\smile AE}{2}$

Сложим эти углы:

$\displaystyle \angle{ACD}+ \angle{BTD}=\frac{\smile AED+\smile BCD+\smile AE}{2}$

Заменим ◡АЕ равной ей дугой ◡АВ:

$\displaystyle \angle{ACD}+ \angle{BTD}=\frac{\smile AED+\smile BCD+\smile AB}{2}$

Заметим, что сумма дуг в числителе составляют окружность.

• Градусная мера окружности равна 360°.

⇒

$\displaystyle \angle{ACD}+ \angle{BTD}=\frac{360^0}{2}=180^0$

• Сумма углов четырехугольника равна 360°.

⇒ ∠ТМС + ∠СDT = 360° - (∠АCD + ∠BTD) = 180°

В четырехугольнике СDМT сумма противоположных углов равна 180°.

Значит около четырехугольника СDМT можно описать окружность.

⇒ Точки С, D, М, T лежат на одной окружности.

2. Решение:

Опишем окружность с центром О около треугольника СМD.

Рассмотрим ΔАТЕ и ΔAED.

∠EAD - общий;

◡АВ = ◡АЕ (п.1)

⇒ ∠АЕВ = ∠ADE (вписанные, опираются на равные дуги)

ΔАТЕ ~ ΔAЕD (по двум углам)

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{AT}{AE}=\frac{AE}{AD}$

или

АЕ² = AT · AD

АЕ = АВ = 4 (условие)

AT · AD = 16

AР и AD - секущие Окр.О.

• Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.

⇒ АK · АP = AT · AD = 16

Пусть радиус Окр.О равен R.

Тогда АK = АО - R;  AP = AO + R;

AO = 12

(12 - R)(12 + R) = 16

144 - R² = 16

R² = 128

R = √128

R = 8√2

Радиус окружности, описанной около треугольника СМD равен 8√2 ед.

#SPJ1

Answer 2

Для доказательства того, что точки С, Д, М, Н лежат на одной окружности, мы должны показать, что угол СДМ равен углу СНМ.

1. Рассмотрим треугольник АСЕ. Из условия известно, что АВ = АЕ. Поскольку АВ является хордой окружности, то угол АВЕ равен половине соответствующего центрального угла, образованного хордой АВ. Таким образом, угол АВЕ равен углу АСЕ.

2. Из пересечения отрезков ВЕ и АС в точке М следует, что угол СМВ равен углу АСЕ (вертикальные углы равны). Следовательно, угол СМВ равен углу АВЕ.

3. Отрезок АД пересекает отрезок ВЕ в точке Т. Таким образом, угол СТВ равен углу СМВ.

4. Значит, угол СТВ равен углу АВЕ, который равен углу АСЕ.

5. Из пункта 4 следует, что угол СТВ равен углу АСЕ. Но мы также знаем, что угол СДМ равен углу АСЕ. Значит, угол СДМ равен углу СТВ.

Таким образом, точки С, Д, М, Н лежат на одной окружности.

Чтобы найти радиус описанной окружности треугольника СМД, мы можем использовать теорему синусов в треугольнике АСМ:

sin(АСМ) / МА = sin(МСА) / АМ = sin(АС) / АС

Известно, что АО = 12 и АВ = 4. Так как АВ является диаметром описанной окружности, то АС = 2 * АВ = 8.

Теперь мы можем использовать теорему синусов:

sin(АСМ) / 12 = sin(МСА) / АМ = sin(АС) / 8

Учитывая, что sin(АСМ) = sin(МСА) (так как угол АСМ равен углу МСА, так как они опираются на одну и ту же дугу СД), у нас есть:

sin(АСМ) / 12 = sin(АС) / 8

Мы знаем, что sin(АС) = АС / гипотенуза, где гипотенуза - радиус описанной окружности. Пусть радиус о