Question

Отрезки AB и CD лежат на параллельных прямых, а отрезки AD и BC пересекаются в точке P. Известно, что PD=33, AB=15, DC=45. Найдите AP Найдите AD

Answer 1

Ответ:

1. 11

2. 44

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим треугольники ABP и CPD

AB || CD (по условию), то угол BAD = углу ADC (как накрест-лежащие при параллельных прямых AB и CD, секущей AD)

угол BPA = углу DPC (как вертикальные)

Значит, треугольники подобны по 2 углам (1 признак подобия треугольников).

Из подобия следует: AP:PD= AB:CD

AP * CD = AB * PD (по основному свойству пропорции)

AP = AB * PD / CD

AP = 15 * 33 : 45 = 11

AD = AP + PD (так как P принадлежит AD) = 11 + 33 =  44.

Answer 2

Чтобы найти AP и AD, мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Поскольку отрезки AB и CD параллельны, у нас есть следующие соотношения:

AP/AD = BP/DC AP/AD = (AB - BP)/DC

Мы знаем, что AB = 15 и DC = 45. Нам нужно найти BP.

Так как PD = 33, мы можем выразить BP через PD и DC:

BP/PD = DC/AD BP/33 = 45/AD

Теперь мы имеем два уравнения:

AP/AD = (AB - BP)/DC BP/33 = 45/AD

Давайте решим эти уравнения.

Из второго уравнения можно выразить BP:

BP = (33 * 45) / AD

Подставим это значение в первое уравнение:

AP/AD = (15 - (33 * 45) / AD) / 45

Умножим обе части уравнения на AD:

AP = (15 - (33 * 45) / AD) * (AD / 45) AP = 15AD/45 - (33 * AD * AD) / (45 * AD) AP = AD/3 - 33AD/45 AP = AD(15 - 33/45) AP = AD(15 - 11/15) AP = AD(225 - 11)/15 AP = AD * 214/15

Теперь у нас есть выражение для AP через AD:

AP = (214/15) * AD

Чтобы найти AD, мы можем использовать факт, что PD = 33 и AD + PD = AP. Подставим значение PD и AP:

AD + 33 = (214/15) * AD

Перенесем все члены, содержащие AD, на одну сторону:

(214/15) * AD - AD = 33

(214 - 15) / 15 * AD = 33

199/15 * AD = 33

AD = 33 * 15 / 199

AD ≈ 2.495

Теперь, зная AD, мы можем найти AP:

AP = (214/15) * AD

AP ≈ (214/15) * 2.495

AP ≈ 35.077

Таким образом, AP ≈ 35.077 и AD ≈ 2.495.