Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченой линией y=3x+6,y=0,x=1.

Answer 1

Ответ:

$3x + 6 = 0 \\ 3x = - 6 \\ x = - 2$

$\displaystyle \int_{ - 2} ^{1} 3x + 6dx = (3 \times \frac{ {x}^{2} }{2} + 6x)|_{ - 2} ^{1} = \frac{3 \times {1}^{2} }{2} + 6 \times 1 - ( \frac{3 \times {( - 2)}^{2} }{2} + 6 \times ( - 2)) = \frac{3}{2} + 6 - (6 - 12) = \frac{3}{2} + 6 - 6 + 12 = 13.5$ кв ед

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно найти точки их пересечения.

Уравнение y = 3x + 6 описывает прямую линию, которая имеет наклон 3 и пересекает ось y при y = 6. Уравнение y = 0 описывает ось x (ось абсцисс). Уравнение x = 1 описывает вертикальную линию, которая пересекает ось x при x = 1.

Чтобы найти точки пересечения, мы должны приравнять уравнения и решить систему уравнений: 3x + 6 = 0 x = 1

Первое уравнение можно решить, вычитая 6 с обеих сторон: 3x = -6 x = -2

Таким образом, точки пересечения линий -2 и 1. Фигура ограничена прямыми линиями y = 3x + 6, y = 0 и x = 1.

Чтобы найти площадь фигуры, мы можем разделить ее на две части: прямоугольник и треугольник.

Прямоугольник имеет ширину 1 (расстояние между x = -2 и x = 1) и высоту 6 (значение y при y = 0). Площадь прямоугольника равна ширине умноженной на высоту: 1 * 6 = 6.

Треугольник имеет базу 1 (расстояние между x = 1 и x = -2) и высоту 6 (значение y при y = 0). Площадь треугольника равна половине произведения базы и высоты: (1 * 6) / 2 = 3.

Итак, общая площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3x + 6, y = 0 и x = 1, равна сумме площади прямоугольника и треугольника: 6 + 3 = 9.

Таким образом, площадь фигуры равна 9.