Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння. y" - y' - 2y =0​

Answer 1

Ответ:

$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}.$

Пошаговое объяснение:

1) это однородное ДУ. Характеристическое уравнение:

а²-а-2=0, откуда а=-2; 1.

2) значит, решение однородного ДУ:

$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}.$

Answer 2

Для знаходження загального розв'язку диференціального рівняння y" - y' - 2y = 0, спочатку складемо характеристичне рівняння, припускаючи, що розв'язок має вигляд y = e^(rx):

r^2 - r - 2 = 0.

Факторизуємо це рівняння:

(r - 2)(r + 1) = 0.

Тому маємо два корені: r₁ = 2 і r₂ = -1.

Загальний розв'язок лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку має вигляд:

y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x),

де C₁ і C₂ - довільні константи.

Підставляючи значення r₁ = 2 і r₂ = -1, отримуємо:

y = C₁e^(2x) + C₂e^(-x),

де C₁ і C₂ - довільні константи. Це є загальний розв'язок заданого диференціального рівняння.