Question

Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями у=6х2 и у=18х

Answer 1

Ответ:

площадь фигуры равна 27 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Делаем чертеж, определяемся по четрежу с фигурой, пределами интегрирования, функциями у₁(х) и у₂(х). За у₁(х) принимают функцию, график которой лежит "выше" на координатной плоскости в интервале интегрирования.

Затем используем формулу Ньютона-Лейбница

$\displaystyle S=\int\limits^a_b {\bigg(y_1(x)-y_2(x)\bigg)} \, dx$

Для нашего случая

b = 0; a = 3;

у₁(х) = 18х;

у₂(х) = 6х².

Считаем площадь

$\displaystyle S=\int\limits^3_0 {\bigg(18x-6x^2\bigg)} \, dx=18\frac{x^2}{2} \bigg|_0^3-6\frac{x^3}{3} \bigg|_0^3=81-54=27$

ESPJ1

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения. В данном случае, у нас есть две кривые:

у = 6х^2 ............. (1) у = 18х ............... (2)

Для определения точек пересечения, приравняем уравнения (1) и (2):

6х^2 = 18х

Поделим обе части на х:

6х = 18

Разделим обе части на 6:

х = 3

Теперь, когда мы нашли точку пересечения х = 3, подставим ее в одно из уравнений, чтобы найти значение у:

у = 18х у = 18 * 3 у = 54

Таким образом, точка пересечения этих двух кривых равна (3, 54).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, необходимо вычислить определенный интеграл от уравнения (1) до уравнения (2). Поскольку у нас есть только одна точка пересечения, находящаяся в верхней части фигуры, мы будем интегрировать по х от 0 до 3:

S = ∫[0, 3] (18х - 6х^2) dx

S = [9х^2 - 2х^3] |[0, 3]

S = (9 * 3^2 - 2 * 3^3) - (9 * 0^2 - 2 * 0^3)

S = (9 * 9 - 2 * 27) - (0 - 0)

S = (81 - 54) - (0 - 0)

S = 27 - 0

S = 27

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у=6х^2 и у=18х, равна 27.