Question

Розв'яжіть рівняння: 1) x²-6x+y2+4+13=0; 2) x²+y²-2y=-1; 3) x2 +8x+25=-y²+6y.​

Answer 1

1) х²-6х+у²+4+13=0

х²+2х-8х+у²+1+3+13=0

х²+2х+1+у²-8х+16=0

(х+1)²+(у-4)²=0

(х+1)²=0 та (у-4)²=0

х+1=0 та у-4=0

х= -1 та у=4

Вiдповiдь: (-1;4).

2) x²+y²-2y=-1

х²+у²-2у+1=0

х²+(у-1)²=0

х²=0 та (у-1)²=0

х=0 та у-1=0

х=0 та у=1

Вiдповiдь: (0;1).

3) x²+8x+25=-y²+6y

х²+8х+16+9+у²-6у=0

х²+8х+16+у²-6у+9=0

(х+4)²+(у-3)²=0

(х+4)²=0 та (у-3)²=0

х+4=0 та у-3=0

х= -4 та у=3

Вiдповiдь: (-4;3).

Answer 2

1. Щоб розв'язати рівняння x² - 6x + y² + 4 + 13 = 0, спочатку згрупуємо подібні терміни за змінними x і y:

x² - 6x + y² + 17 = 0.

Зараз ми не можемо розкласти це рівняння на окремі фактори, але ми можемо його привести до квадратичної форми шляхом завершення квадрату для змінних x і y. Додамо квадратичні вирази до обох боків рівняння:

(x² - 6x + 9) + (y² + 17) = 9.

Отримаємо:

(x - 3)² + (y + 17) = 9.

Тепер візьмемо до уваги, що квадратний вираз (x - 3)² завжди буде невід'ємним. Тому (x - 3)² + (y + 17) не може бути від'ємним числом. Щоб воно дорівнювало 9, (y + 17) має бути рівним 9 або -9.

1.1) Якщо (y + 17) = 9:

(y + 17) = 9, y + 17 = 9, y = 9 - 17, y = -8.

Отже, одне рішення цього рівняння: x = 3, y = -8.

1.2) Якщо (y + 17) = -9:

(y + 17) = -9, y + 17 = -9, y = -9 - 17, y = -26.

Отже, друге рішення цього рівняння: x = 3, y = -26.

2. Для рівняння x² + y² - 2y = -1, ми можемо завершити квадрат шляхом додавання квадратичного виразу до обох боків рівняння:

x² + y² - 2y + 1 = 0 + 1, x² + (y² - 2y + 1) = 1.

Отримаємо:

x² + (y - 1)² = 1.

Зверніть увагу, що квадратичний вираз (y - 1)² завжди буде невід'ємним. Тому (y - 1)² + x² не може бути від'ємним числом. Щоб воно дорівнювало 1, (y - 1