Question

Иннокентий написал число 1000100110021003…1099. Найдите остаток этого числа при делении на 11.

Answer 1

Відповідь:

Остаток числа 1000100110021003…1099 при делении на 11 будет 10

Покрокове пояснення:

Число делится на 11, если разница суммы цифр на парных и суммы цифр на непарных местах делится на 11.

Наше число сложено из чисел от 1000 до 1099, то есть 100 таких чисел.

Сумма цифр на непарных местах:

На первом месте каждого из четырёхзначных чисел стоит 1, таких единиц 100, а на третьем  месте стоит 10 нулей, 10 единиц, 10 двоек, ... 10 девяток, в сумме 10(1+2+3+4+5+6+7+8+9).

Тогда вся сумма 10(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+100

Сумма цифр на парных местах:

На втором месте каждого из четырёхзначных чисел стоит 0, а на четвёртом 1, 2, 3 ... 9 и так 10 раз, тогда вся сумма (1+2+3+4+5+6+7+8+9)10.

Подсчитаем разницу:

10(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+100-(1+2+3+4+5+6+7+8+9)10=100

Итог:

Так, как 100 не делится на 11, а 99 делится, понимаем, что сумма цифр на непарных местах должна быть на 1 меньше, а так как самое меньшое на непарном месте стоит разряд десятков, то на 1 десяток меньше, то есть 1000100110021003…1089 будет нацело делится на 11!

Тогда 1000100110021003…1099-1000100110021003…1089=10.

Answer 2

Чтобы найти остаток числа, записанного в виде "1000...1001...1002...1003...1099", при делении на 11, можно использовать следующее свойство: остаток от деления числа на 11 равен остатку от деления суммы его цифр на 11.

Разобьем число на блоки по четыре цифры, начиная справа:

1000, 1001, 1002, 1003, ..., 1099

Очевидно, что каждый блок, начиная со второго (1001, 1002, 1003, ..., 1099), имеет остаток 1 при делении на 11. Таким образом, сумма остатков всех блоков, кроме первого, равна (99 * 1) = 99.

Для первого блока, 1000, найдем остаток от деления суммы его цифр на 11. Сумма цифр 1000 равна 1 + 0 + 0 + 0 = 1, и она имеет остаток 1 при делении на 11.

Теперь сложим остатки первого блока и остатки остальных блоков:

1 + 99 = 100

Остаток от деления числа "1000100110021003...1099" на 11 равен 100.