Question

При каких значениях переменных х и у, связанных соотношением х+у=1, выражение 4x^2+2xy-4y^2 принимает наибольшее значение? Чему равно это значение?

Answer 1

Из условия х + у = 1 выразим х = 1 - у и подставим в выражение 4x^2+2xy-4y^2 .
Получаем 4(1 - у)² + 2(1 - у)*у - 4у² = 4(1 - 2у + у²) + 2у - 2у² - 4у² =
 = 4 - 8у + 4у² + 2у - 6у² = -2у² - 6у + 4.
Производная полученного выражения равна -4у - 6.
Для нахождения максимума приравниваем производную нулю:
-4у - 6 = 0,
у = 6/-4 = -3/2.
х = 1 - (-3/2) = 5/2.
Подставим полученные значения переменных в заданное выражение:
4*(25/4)+2*(5/2)*(-3/2)-4*(9/4) = 25 - (15/2) - 9 = 17/2.