Question

Задача. Чи існують такі натуральні числа m і n, для яких виконується рівність ( − ) = 2023. Відповідь обґрунтуйте.​

Answer 1

Ответ:

Замінюємо в рівності a на m і b на n: |m^2 - n^2| = 2023

Зауважимо, що 2023 є простим числом, тому може бути представлено як різниця двох квадратів: 2023 = 45^2 - 44^2. Також, якщо помножити обидві сторони на |m + n|, то ми отримаємо рівність:

|m + n||m - n| = 2023|m + n|

Розглянемо два випадки:

Якщо |m + n| = 1, то ми маємо |m - n| = 2023, що неможливо, оскільки різниця двох натуральних чисел не може дорівнювати простому числу.

Якщо |m + n| = 2023, то ми маємо |m - n| = 1, що означає, що m і n відрізняються тільки на одиницю. Але тоді m^2 і n^2 відрізняються не менше, ніж на 2m, що перевищує 2023 при достатньо великих значеннях m. Тому такі натуральні числа m і n не існують.

Отже, розв'язку цієї рівності не існує.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте розглянемо дане рівняння: (m^2 - n^2) = 2023.

Ми можемо спростити його, використовуючи різницю квадратів: (m^2 - n^2) = (m + n)(m - n).

Тепер давайте замінимо 2023 на прості множники, щоб побачити, чи існують такі значення m та n, які задовольняють рівнянню.

Розкладаємо 2023 на прості множники: 2023 = 7 * 17 * 17.

Тепер ми можемо розглянути всі можливі комбінації множників (m + n) і (m - n), які дають 7, 17 та 17.

Оскільки числа m і n є натуральними числами, ми можемо розглянути такі випадки:

1. (m + n) = 2023 і (m - n) = 1. В цьому випадку, розв'язуючи ці рівняння, ми отримуємо m = 1012 та n = 1011. Однак, n має бути менше за m, тому цей варіант не підходить.

2. (m + n) = 7 і (m - n) = 289. В цьому випадку, розв'язуючи ці рівняння, ми отримуємо m = 148 та n = -141. Оскільки n має бути натуральним числом, цей варіант також не підходить.

3. (m + n) = 17 і (m - n) = 119. В цьому випадку, розв'язуючи ці рівняння, ми отримуємо m = 68 та n = -51. Знову ж таки, цей варіант не підходить.

Таким чином, немає натуральних чисел m і n, для яких виконується рівність (m^2 - n^2) = 2023.