Question

Найдите экстремы заданных функций y=2/3x^3-5x^2+12x-14 y=x^4-2x^3-2x^2

Answer 1

Ответ:

.

Пошаговое объяснение:

1 Функция y=2/3x^3-5x^2+12x-14

Для нахождения экстремумов функции сначала найдем производную:

y' = 2x^2 - 10x + 12

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

2x^2 – 10x + 12 = 0

x^2 – 5x + 6 = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

Таким образом, есть две точки экстремума: x1 = 2 и x2 = 3. Для того, чтобы определить, какой из этих двух экстремумов является минимумом, а какой - максимумом, нужно проанализировать знак производной вокруг этих точек. При x<2 и x>3, производная положительная, то есть функция монотонно возрастает. При 2<x<3, производная отрицательная, поэтому функция монотонно спадает. Следовательно, точка x1=2 является максимумом, а точка x2=3 является минимумом.

Остается найти значение функции в этих точках:

y(x1) = 2/3(2)^3 - 5(2)^2 + 12(2) - 14 = 2/3

y(x2) = 2/3(3)^3 - 5(3)^2 + 12(3) - 14 = -13/3

2 Функция y=x^4-2x^3-2x^2

Для нахождения экстремумов функции сначала найдем производную:

y' = 4x^3 - 6x^2 - 4x

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

4x^3 - 6x^2 - 4x = 0

4x(x^2 - (3/2)x - 1) = 0

Таким образом, есть три точки, в которых производная равна нулю: x1 = 0, x2 = (3 + √13)/4 и x3 = (3 - √13)/4. Для того чтобы определить, какие из этих точек являются максимумами, а какие – минимумами, нужно проанализировать знак

Answer 2

Для нахождения экстремумов заданных функций необходимо найти их производные и найти значения x, при которых производные равны нулю.

1. Функция y = (2/3)x^3 - 5x^2 + 12x - 14:

Для нахождения экстремумов возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = 2x^2 - 10x + 12

2x^2 - 10x + 12 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта:

D = (-10)^2 - 4 * 2 * 12 = 100 - 96 = 4

x = (-(-10) ± √4) / (2 * 2) = (10 ± 2) / 4

x1 = (10 + 2) / 4 = 12 / 4 = 3

x2 = (10 - 2) / 4 = 8 / 4 = 2

Теперь найдем значения y при найденных x:

y1 = (2/3)(3^3) - 5(3^2) + 12(3) - 14 = 18 - 45 + 36 - 14 = -5

y2 = (2/3)(2^3) - 5(2^2) + 12(2) - 14 = 16/3 - 20 + 24 - 14 = -22/3

Таким образом, у функции y = (2/3)x^3 - 5x^2 + 12x - 14 есть два экстремума:

1. Минимум при x = 3, y = -5.
2. Максимум при x = 2, y = -22/3.

2. Функция y = x^4 - 2x^3 - 2x^2:

Для нахождения экстремумов снова возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = 4x^3 - 6x^2 - 4x

4x^3 - 6x^2 - 4x = 0

x(4x^2 - 6x - 4) = 0

Разложим скобку (4x^2 - 6x - 4):

4x^2 - 6x - 4 = 0

2x^2 - 3x - 2 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта:

D = (-3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

x = (-(-3) ± √25) / (2 * 2) = (3 ± 5) / 4

x1 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2

x2 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь найдем значения